pas mal!

montrer que pour tout t>=0, l'équation x^3 + tx - 8 admet une seule solution positive. x(t). Calculer par suite int_{0}^{7}([x(t)]^2)dt.

salam à tous !!!

je veux pas laisser ça sans reponse bon j'ai calculé cela immédiatement et je crois que ce integral vaut: 93/6
peut etre j'ai trompé car j'ai calculé cela trés vite

et merci
PS: j'ai pris que [.] comme des parenthèses (si c pas partie entiere)
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LAHOUCINE

désolé mais la partie entière de x(t)!

radouane_BNE a écrit:

désolé mais la partie entière de x(t)!

Comment ça se fait que t'aies accès au net toi?

radouane_BNE a écrit:

désolé mais la partie entière de x(t)!

salam !!

donc dans ce cas c'est trés simple et sans calculs:

il suffit de remarquer que si t£[0;7] alors x(t)£[1;2] .....

et merci
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LAHOUCINE

hamzaaa a écrit:

radouane_BNE a écrit:

désolé mais la partie entière de x(t)!

Comment ça se fait que t'aies accès au net toi?

les cybers sont nombreux ici!(l'un prés d'empalot)...

pour mathema.....encore une fois c'est incorrecte!

radouane_BNE a écrit:

pour mathema.....encore une fois c'est incorrecte!

est ce que tu es sûr que x(t) $ [1;2] pr tt t£[0;7] ?? ($:n'appartient pas)

sioui donner-moi un a£[0;7] tq x(a) $[1;2]

et merci
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LAHOUCINE

je te le donne lorsque tu postes ta solution toute entière!

Une remarque générale pour tous les formustes:

Celui qui trouve une solution pour un exercice,peut importe,facil ou difficile,postes sa solution dans son intégralité et non pas juste de prétendues solutions incomplétes!

donc toi aussi tu doit faire la même chose...

salam !!!

alors l'equation donnée c'est : x^3 + tx - 8 = 0 (avec t>=0) donc l'existance d'une solution unique est évident !!!
en effet il y'a plusieurs methodes:
*) on peut considerer la fonction: f(x)= x^3 + tx - 8 alors f dérivable sur IR et f'(x) = 3x^2 + t > 0 d'où f est croissante pr tt x£IR et puisque f(0) = -8 < 0 donc la solution (notée x(t)) est unique en plus x(t)>0 pr tt t>=0..

*) ou d'une autre directe: soit t>= 0 et delta = 4(16 + t^3 / 27) > 0 d'ou l'equation admet une solution réélle (x(t)) et deux complexes. et puisque:
x(t)^3 + t(x(t) - 8 =0 x(t)((x(t))² + t)=8
alors pr tt t>= 0 (x(t))² + t > 0 et 8>0 ====> x(t) > 0 pr tt t>= 0 ...
methode 1:
d'abord c'est facile à demontrer que x(t) =< 2 pr tt t>=0 en effet (tjrs il existe bcp des methodes) :
soit t>= 0:
(x(t))^3 + tx(t) = 8 x(t)^3 = 8 - tx(t)
alors tx(t) >= 0 ===> 8-tx(t) =< 8 ===> x(t) =< 2

donc pr tt t>= 0 : 0 < x(t) =< 2
d'une autre par il est claire que la fonction : x :IR+ --> ]0;2] est de classe C^{00}(au moins de classe C^1) et e plus :
pr tt t>= 0 : dx(t)/dt = -x(t) / (3 (x(t))² + t) < 0 d'où la décroissance de la fonction x. (en particulier bijective)
soit y la receproque de x alors on a (facilement) :

pr tt t£]0;2] : y(t) = (8/t) - t²

donc il est bien clair que x(7) = 1
donc : pr tt x£ [0;7] : x(t) £ [1;2] d'où le resultat...

methode2 :

le discriminant reduite de l'équation x^3 + tx - 8 = 0 est :
delta' = d = 16 + t^3/27
alors l'équation admet comme on a dit deux solutions complexes et une seule réelle on la note x(t)

avec x(t) = ( (sqrt(d) + 4)^(1/3) - ( sqrt(d) - 4)^(1/3))

c'est à dire:

x(t) = x(t) = ( (sqrt(16 + t^3/27) + 4)^(1/3) - ( sqrt(16 + t^3/27) - 4)^(1/3))
donc l'etude de la fonction x conforme ce que j'ai dis en haut ....

et pour l'integrale je re pour le calculer (peut etre I = 7 + (28/3).10^-3) mais la methode je la posterai aprés. et merci
PS: il existe bcp des autres methodes ...
PS2: cet integral est jolie même qu'elle est bizzare !! mais je sais pas pourquoi le titre de sujet est "pas mal !" ????
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LAHOUCINE

Salam
voila ma solution
on considere la fonction f definie sur R+ par : f(x)=x^3+tx-8
avec t en element qlconque de R+*.
la fonction f est derivable sur R+ et on a : f'(x)=3x²+t >0 donc f est strictement croissante sur R+ , En plus f est continue sur R+
Alors f est une bijection de R+ vers [-8,+00[ et lorsque 0£[-8,+00[
alors l'equation x^3+tx-8=0 admet une unique solution x(t) dans R+
Pour le calcul de l'integrale on note : I=int_{0}^{7}([x(t)]^2)dt
On a : f'(x(t))=3x²(t)+t ce qui enchaîne à
int_{0}^{7}(f'(x(t))dt)=3I+49/2
on sait que (fog)'=f'og * g' remplaçant g par x(t) on obtient :
I=-49/6

salam Mr Lahcen !!!

est ce que le resultat I= -49/6 < 0 tu l'as trouvé logique ??!!!
voir bien que [x(t)] est la partie entière de la fonction x ....

et merci
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LAHOUCINE

salam
j'ai po fait attention aupartie entiere

slt!

encore j'attend LE résultat,pour la première question,c'est pas grande chose!

mes calclues ont donner I=15,5.

radouane_BNE a écrit:

slt!

encore j'attend LE résultat,pour la première question,c'est pas grande chose!

mes calclues ont donner I=15,5.

salut Mr Radouane !!!

je crois que 15.5 c'est un peu trop qu'une resultat pour l'integrale et moi j'ai trouvé que I=7 + 28/3000 mais j'ai pas encore l'envie de poster la reponse ...
et merci
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LAHOUCINE

Bonjour,

Il faut comprendre l'énoncé comme:
calculer int_{0}^{7} x(t)^2 dt , il n'y a pas de partie entière.
A l'aide d'un changement de variable très simple on trouve bien 31/2.

jandri a écrit:

Bonjour,

Il faut comprendre l'énoncé comme:
calculer int_{0}^{7} x(t)^2 dt , il n'y a pas de partie entière.
A l'aide d'un changement de variable très simple on trouve bien 31/2.

salut !!

mais l'auteur de message a signalé de calculer l'inegrale de la partie entiere au carré ...

et si l'integrale est sans partie entiere c'est banale !! en effet:

j'ai deja demontré que x est une fonction bijective de [0;7] vers [1;2] et sa receproque est la fonction
y(t) = 8/t - t²

alors :
int_0^7 (x(t))²dt = - int_1^2 t²y'(t)dt = int_1^2 (8 + 2t^3)dt = 31/2
c'est simple ....
et merci
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LAHOUCINE