ca m etonnerai de pouvoir trouver une solution general sans continuité !!
pour f continue ;
sois :
on a :
si f(0)=0 en remplacant y par 0 on a immediatement f=0.
maintenant si f(0)=1 ;
et donc f est pair. (1)
si f=c , constante , alors 2c=2c² d ou c=1 donc f=1 solution trivial.
maintenant si f n est pas constante il existe un reel b tel que f(b)<1.
et puisque f(x)=f(-x) on peut supposer sans perdre de generalité que b>0.
la suite definie par U0=b , et U(n+1)=2Un²-1 contient des reels negatives , et puisque f est continue et f(0)=1 , par le theoreme des valeurs intermediaires il existe un zero de f notons le c. (f(c)=0)
donc l ensemble A={x>0 , f(x)=0} n est pas vide et admet un plus petit element notons le a. donc f(a)=0. (par continuité)
donc f(x)>0 pr tt x de [0,a[
donc :
donc f(x+4a)=f(x) et donc f est periodique. (2)
on peut montrer par recurence que pr tt entier naturel n ,
que Q(a/2^n,a/2^n)==> f(a/2^n)=cos(pi/2^{n+1})
et par une autre recurence sur p , f(pa/2^n)=cos(p*pi/2^{n+1}) pr tt p de [0,2^n]
mais on a {p.a/2^n, n>=0 et p€[0,2^n]} est dense dans [0,a] donc
par continuité de f , f(x)=cos(pi.x/2a) prr tt x de [0,a]
et de (2) et (1) on deduit que f(x)=cos(pi.x/2a) pr tt x de R.
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