Moutafawita !!

si a,b,c>0 alors prouvez que:

Je crois que c'est facile:
c'est équivalent à

posons:
2x=a et b+c =y




La même chose pour b+c et c+a

smash a écrit:

Je crois que c'est facile:
c'est équivalent à

Tu as commis une erreur dans l'enoncé on a 2x² et non pas (2x)²

oui t'as raison!!

bon travail smash !
P.S : les inégo olpmiades sont toujours précis et toujours il y a un cas d'égalité , la majorité a=b=c=..

pour celle la si on a pris a=b=c
on trouveras :
16/6 + 16/6 +16/6 = 8

par symétrie des roles supposons que:a=<b=<c alors:
2a²+(b+c)² >= 2b²+(c+a)²
2c²+(b+a)² > =2b²+(c+a)²

(2a+b+c)²/2a²+(b+c)²=1+2a²+4a(b+c)/2a²+(b+c)

2a²+4a(b+c)/2a²+(b+c)²=<2a²+4a(b+c)/2b²+(c+a)²
2b²+4b(c+a)/2b²+(c+a)²=<2b²+4b(c+a)/2b²+(c+a)²
2c²+4c(b+a)/2c²+(b+a)²=<2c²+4c(b+a)/2b²+(c+a)²

2a²+4a(b+c)/2a²+(b+c)²+2b²+4b(c+a)/2b²+(c+a)²+2c²+4c(b+a)/2c²+(b+a)²=<(2a²+4a(b+c)+2b²+4b(c+a)+2c²+4c(b+a))/2b²+(c+a)²
monterons que:
2(a²+b²+c²)+8(ab+bc+ac)=<5(2b²+(c+a)²)
5(2b²+(c+a)²)-2(a²+b²+c²)-8(ab+bc+ac)=(c+a-2b)²+2(c-b)²+2(b-a)²>0

sabeur a écrit:

par symétrie des roles supposons que:a=<b=<c alors:
2a²+(b+c)² >= 2b²+(c+a)²
2c²+(b+a)² > =2b²+(c+a)²

(2a+b+c)²/2a²+(b+c)²=1+2a²+4a(b+c)/2a²+(b+c)

2a²+4a(b+c)/2a²+(b+c)²=<2a²+4a(b+c)/2b²+(c+a)²
2b²+4b(c+a)/2b²+(c+a)²=<2b²+4b(c+a)/2b²+(c+a)²
2c²+4c(b+a)/2c²+(b+a)²=<2c²+4c(b+a)/2b²+(c+a)²

2a²+4a(b+c)/2a²+(b+c)²+2b²+4b(c+a)/2b²+(c+a)²+2c²+4c(b+a)/2c²+(b+a)²=<(2a²+4a(b+c)+2b²+4b(c+a)+2c²+4c(b+a))/2b²+(c+a)²
monterons que:
2(a²+b²+c²)+8(ab+bc+ac)=<5(2b²+(c+a)²)
5(2b²+(c+a)²)-2(a²+b²+c²)+8(ab+bc+ac)=(c+a-2b)²+2(c-b)²+2(b-c)²>0

jolie solution!!!!!!
en rouge c plutôt le moins ..
j puis je crois que c ....
5(2b²+(c+a)²)-2(a²+b²+c²)-8(ab+bc+ac)=(c+a-2b)²+2(c-b)²+2(b-a)²

merci faute de frappe

EINSTEINIUM a écrit:

si a,b,c>0 alors prouvez que:

slt

supposons que a+b+c=1 (homogeinité)

l'inegalité deviend sum((a²+2a+1)/(3a²-2a+1))=<8

on a pr tt a de [0,1] f(a)=36a^3-15a²-2a+1=(3a-1)²(4a+1)>=0

donc f(a)>=0 <==> (a²+2a+1)/(3a²-2a+1)=<(12a+4)/3

de meme pour f(b) et f(c)

donc f(a)+f(b)+f(c)=<(12(a+b+c)+12)/3=8

egalité pour a=b=c=1/3

bonjour memath tu pe m explique stp^^quand on peu supposer a+b+c=1 ......d une autre facon comment savoir si une inego est homogene.merci d avance^^

xyzakaria a écrit:

bonjour memath tu pe m explique stp^^quand on peu supposer a+b+c=1 ......d une autre facon comment savoir si une inego est homogene.merci d avance^^

on a (2ka+kb+kc)²=k²(2a+b+c)² et 2(ka)²+(kb+kc)²=k²(2a²+(b+c)²)

donc (2ka+kb+kc)²/(2(ka)²+(kb+kc)²)=(2a+b+c)²/(2a²+(b+c)²)

si on pose k=1/(a+b+c)

et x=ka , y=kb , z=kc , on aura x+y+z=1

et l'inegalité reste la meme.

d une facon general une expression f(a1,a2,...an) est dite homogene de degré 1 ssi f(ka1,ka2,...,kan)=kf(a1,a2,...,an) pr tt k#0

j'espere que je me suis fait comrendre.

remark k on peut aussi supposer que abc=1

on posons x=a/abc ,y=b/abc , z=1/abc

ué merci bcp^^