Bonsoir tout le monde;
Soit f une application de E sur F , on définit la relation R sur E par xRy<=>f(x)=f(y).
1)Montrer que R est une relation d’équivalence.
2)Déterminer l’ensemble quotient E/R de la relation R.
3)Montrer qu’il existe une application surjective de s de E sur E/R et une application g bijective de E/R sur f(E) une injection de i de f(E ) sur F tq f= io go s.
pour la première question je crois que c'est simple ,juste une application du cours. Pour la deuxième j'ai trouvé E/R= { f^-1({f(x)}) /x appart à E)
C'est sur la troisième que je me bloque, voici ma rédaction :
on pose i: f(E)-----> F
y------>y
Donc il suffit de montrer que f= gos
On a s(x) = cl(x) , donc d'après (2), s existe et est surjective.
montrons que f existe, càd montrons que pr tt x,y de E
=y => f(x)=f(y)
soit x,y de E
on a f(x) =g(s(x))
=g(cl(x))
et f(y)= g(s(y))
= g(cl(y))
On a cl(x)=cl(y) <=> xRy <=> f(x)=f(y)
d'ou f existe.
mintenant montrons que g est bijective:
soient x, y de E.
On a g(s(x))=g(s(y)) <=> g(cl(x))= g(cl(y)) <=> x=y
donc g est injective.
Soit y de f(E)
Donc il existe un x de E tx f(x) = y
d'ou g(cl(x)) = y
alors g est surjective.
Il en découle que g est bijective.
Je sais que c'est mal exprimé, et c'est pour cette même raison que je demande votre aide.
Merci d'avance.
Bonne fin de soirée.
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