Borne superieure

Salam o alikom

Soit E un ensemble ordonne possedant un element minimum et dans lequel toute partie non vide admet une borne superieure . Soit f une application croissante de E dans E

1-Montrer que l'ensemblbe X={x€E ; x<=f(x) } est non vide

2- Montrer que la borne superieure a de X verifie f(a)=a

A+

soit m le minimum de E
on a pr tt x de E x>=m

puisque f(m)€E on a f(m)>=m et donc m€X donc X est non vide .

soit a=Sup(X)

on a pr tt x de X , x=<a

supposons que f(a)>a

puisque f est croissante on a f(f(a))>=f(a)

donc f(a)€X et donc f(a)=<a ce qui est contradictoire !

si f(a)<a

on a pr tt x de X x=<a donc x=<f(x)=<f(a)<a

donc f(a) est un majorant de X , et donc f(a)>=a , ce qui est aussi contradictoire !

conclusion ; on a bien f(a)=a

Exacte memath