x=y=z ==> 3f(x)=g(3x)+3h(0) et donc g(x)=3f(x/3)-3h(0) et l'équation devient :
f(x)+f(y)+f(z)=3f((x+y+z)/3)+(h(x-y)-h(0))+(h(y-z)-h(0))+(h(z-x)-h(0))
En utilisant x+a, y+a, z+a dans cette équation, on a :
f(x+a)+f(y+a)+f(z+a)=3f((x+y+z)/3+a)+(h(x-y)-h(0))+(h(y-z)-h(0))+(h(z-x)-h(0))
En soustrayant ces deux équations l'une de l'autre :
f(x+a)-f(x)+f(y+a)-f(y)+f(z+a)-f(z)=3f((x+y+z)/3+a)-3f((x+y+z)/3)
Appelons k_a(x) la fonction f(x+a)-f(x) et on a k_a(x)+k_a(y)+k_a(z)=3k_a((x+y+z)/3)
Il est facile (puisque dans Q) de conclure alors k_a(x)=u(a)x+v(a) pour des fonctions u(a) et v(a) à déterminer. On donc :
f(x+a)-f(x)=u(a)x+v(a)
f(x+b)-f(x)=u(b)x+v(b)
f(x+a)-f(x+b)=u(a-b)(x+b)+v(a-b)
En faisant 1ere-seconde-troisième, on obtient :
(u(a)-u(b)-u(a-b))x +v(a)-v(b)-b*u(a-b)-v(a-b) pour tout x et donc en particulier u(a)-u(b)-u(a-b)=0
Soit u(a)=u(b)+u(a-b) pour tous a,b et donc u(x)=kx (puisque dans Q)
f(x+a)-f(x)=u(a)x+v(a) s'écrit alors f(x+y)-f(x)=kxy+v(y)
En faisant x=0 dans cette équation, on trouve v(y)=f(y)-f(0) et cette équation devient donc :
f(x+y)-f(x)=kxy+f(y)-f(0) <=> f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy-f(0)
Cette équation est assez simple et donne comme solution f(x)=kx^2/2+f(0) (du moins je pense; je n'ai pas fait l'analyse complète ici)
Donc f(x)=ax^2+b (simple changement de notation) et on peut alors déterminer g(x) :
g(x)=3f(x/3)-3h(0)=ax^2/3+3b-3h(0)
En reportant dans l'équation initiale, on a alors :
ax^2+b+ay^2+b+az^2+b=a(x+y+z)^2/3+3b-3h(0)+h(x-y)+h(y-z)+h(z-x)
Soit 2ax^2/3+2ay^2/3+2az^2/3=2axy/3+2ayz/3+2axz/3+h(x-y)+h(y-z)+h(z-x)-3h(0)
Soit a(x-y)^2/3+a(y-z)^2/3+a(x-z)^2/3=h(x-y)+h(y-z)+h(z-x)-3h(0)
Posons $w(x)=h(x)-ax^2/3-h(0)$. L'équation devient w(x-y)+w(y-z)+w(z-x)=0 avec w(0)=0
on déduit aisément de cela que w(x+y)=w(x)+w(y) et donc w(x)=cx
d'où les solutions (dont on vérifie facilement l'exactitude):
f(x)=3ax^2+b
g(x)=ax^2+3b-3d
h(x)=ax^2+cx+d
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