Deux hard exo de continuité

Merci de bien vouloir organiser sa réponse

BjR !

Exo 5 :

Puisque f est continue sur R+ donc elle est continue sur 0

lim x (x->0+) = 0 ==> lim f(x) (x->0+) = 0 = f(0)

Pour le 2

On peut considerer une fonction g(x)=f(x)/x qui est continue sur R*+ donc continue sur [a,b]
Donc g(x) admet une valeur max : g(c)=f(c)/c=k
et Puisque f(x)<x donc k<1 , d'ou la conclusion

Pour le 6 il me semble que c deja Postee ! et c est pas du hard

Oui je sais , mais pour certains ce l'ait

non le 6 n'est pas posté a ce que je voi

Cet exo existe sur le manuel { al mousta9bal } mais avec Un Indice qui Facilite la Tache , mais pas de cette Facon Brute tel qu a Posé votre prof

Premierement il est Demandé de poser g(x)=f(x)-f(x+1/n) et de calculer :

SIGmA (variant de k=0 à n-1 ) g(k/n)

et ensuite Vient la question principal de l exo

Pour le 1 :

g(0) = f(0) - f(1/n)
g(1/n) = f(1/n) - f(2/n)
g(2/n) = f(2/n) - f(3/n)
...............
...............
...............
...............
g((n-2)/n) = f((n-2)/n) - f((n-1)/n)
g((n-2)/n) = f((n-1)/n) - f(1)

d apres l exo : f(0)=f(1) <=> SIGmA (variant de k=0 à n-1 ) g(k/n) = 0

Pour la question 2 :

puisque pour tout k appartenant a [0, n-1] , k/n appartenant a [0, n-1/n] donc il existe c tel que g(c)= Sigma g(k/n)=0 d ou :
f(c)=f(c+1/n)

oui je l'ai trouvé dans DIMA DIMA , et il 'la vrement posé d'une maniere brutale

question : est ce que si f est une fct continue alors elle admet une valeur maximale????????

nn continue sur un intervalle [a,b].
prends f(x)=x elle est continue mais pas bornée...