eq classic

trouvez toutes les fonctions continues definies de R ds R et verfiant
f(2x)=2f(x)

Il est clair que f(0)=0. pour x non nul on a :
f(x)=2f(x/2)=2²f(x/2²)=...=2^nf(x/2^n) ==> f(x)/x=f(x/2^n)/(x/2^n)
donc f est dérivable en 0 et f'(0)=f(x)/x

càd f(x) =ax avec a dans IR

Bonjour abdelbaki.attioui

abdelbaki.attioui a écrit:

f(x)/x=f(x/2^n)/(x/2^n)
donc f est dérivable en 0 et f'(0)=f(x)/x

càd f(x) =ax avec a dans IR

Non.
Tu ne peux déduire de la première équation la dérivabilité en 0, et encore moins en déduire que f(x) = ax est la seule solution.

Exemple :

f(x) = x sin(2pi*frac(log2(|x|))) pour x non nul et f(0) = 0
avec frac(x) = partie fractionnaire de x ( x moins partie entière de x)
et log2(x) = ln(x)/ln(2)

Cette fonction f :
est définie sur R
est continue sur R (même en 0)
vérifie f(2x) = 2f(x)
et n'est pas dérivable en 0

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Patrick

Bonjour,

Préambule et avertissement.
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Ce problème est effectivement classique et nécessite une certaine rigueur pour être complètement résolu.
D'autre part, comme souvent, il y a une infinité de solutions et il est toujours difficile de se mettre d'accord sur la forme à donner à la réponse.

Exemple de difficulté :
Trouver toutes les fonctions vérifiant f(x) = f(-x) - 2x
On a tout de suite : f(x) + x = f(-x) -x
et donc f(x) + x paire
Une réponse peut donc être f(x) = g(x) - x avec g quelconque paire
Mais "g quelconque paire" est-elle une réponse satisfaisante ?
C'est en soi une équation fonctionnelle qui a comme solution toute fonction g(x) = h(x) + h(-x) avec h(x) quelconque.
Donc l'équation fonctionnelle f(x) = f(-x) - 2x a comme solution :
(s1) : Toute fonction f(x) = g(x) - x avec g quelconque paire
ou
(S2) : Toute fonction f(x) = h(x) + h(-x) - x avec h quelconque
Quelle est la bonne réponse : S1 ? ou S2 ?

De même
Trouver toutes les solutions de f(x+1) = f(x) + 1
La réponse peut être :
(S1) : f(x) = x + p(x) avec p quelconque périodique de période 1
ou
(S2) : f(x) = x + g(frac(x)) avec g quelconque
Quelle est la bonne réponse : S1 ? ou S2 ?


Résolution du problème demandé
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f(2x) = 2f(x)

1) f(0) = 0, évidemment
2) pour x > 0 on peut poser g(x) = f(x)/x et :
g(2x) = g(x)
et, en posant g(x) = h(log2(x)) : h(x+1) = h(x) pour tout x dans R

3) On reconduit le même raisonnement sur R- et la solution générale de l'équation fonctionnelle est donc :

f continue définie sur R telle que f(2x) = 2f(x) pour tout x de R
<=>
il existe g(x) définie continue sur R, de période 1 (telle que g(x+1) = g(x))
il existe h(x) définie continue sur R, de période 1 (telle que h(x+1) = h(x))
f(0) = 0
f(x) = x g(log2(x)) sur R+*
f(x) = x h(log2(-x)) sur R-*

L'équivalence est importante.
Elle dit que c'est la forme générale de la solution.

4 Exemples :

1) g(x) = h(x) = C ==> f(x) = c*x

2) g(x) = h(x) = min(frac(x), 1-frac(x))
==> f(x) = x*min(frac(log2(|x|)), 1-frac(log2(|x|))) pour x non nul et f(0)=0

3) g(x) = h(x) = sin(2pix)
==> f(x) = x*sin(2pi*log2(|x|)) pour x non nul et f(0)=0

4) g(x) = min(frac(x), 1-frac(x)), h(x) = sin(2pi*x)
==> f(x) = x*sin(2pi*log2(-x)) pour x dans R-*
f(0) = 0
f(x) = x*min(frac(log2(|x|)), 1-frac(log2(|x|))) pour x dans R+*

...


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Patrick