exo de logique

veuillez repondre à ces exercices , c'est urgent (pour aprés demain)

1° montrez que √5 est irrationnel et ,(1+√5)/2 est irrationnel

2° montrez que ∀x∈R ,x-√(x^2+1) <0

3° a et b sont des nombre réel apartient à ]-1;1[ montrez que: -1<(a+b)/(1+ab)<1 :

4° montrez ∀n≥24;∃(p,q)∈N^2 :n=5p+7q

5° montrez ∀(a,b)∈R^2: |a|<1 et |b|<1 ⇒ |a+b|<|1+ab|

6° a,b,c et d sont des nombres réels∶montrez a²+b²=1 et c²+d²=1 ⇒ |ac+bd|≤1

7° montrez que ∀n≤3∶(1+1/n)^n<n

j'attend vos réponses merci

j'attend vos réponse merci à vous

∀ cela sighifie quoi??

∀ signifie " pour tous "

pour 1 je passe tres vite
V5 irrationel veut dire
5=a²/b² PGDC(a;b)=1==> PGDC(a²;b²)=1 *
5b²=a² (on sé que n²/5 £ IN==> n/5 ) facile a démontrer
donc a=5k
a²=25k²
donc 5=25k²/b² ==> 1=5k²/b²
donc b²=5k²
donc 5 9asim mochtarak bayna a² wa b²
contradiction avec *
donc V5 est irrationel
Pour 2)
si tu prend x<0 JE CROIS KE C FACILE
si tu prend x>0

si x>1
donc x²+1>x
si x<1 ==> x<x²+1
dans kelke soit x de IR
x-V(x²+1)<0

Salut
je continue
pour exo 3)
a et b sont des nombre réel apartenantà ]-1;1[ donc |a|<1 et |b|<1
et |a+b|<2 (1)
on a |ab|<1 alors : |ab|+1<2
et on sait que |ab+1| <|ab|+1 alors : |ab+1| <2 <=> |1/(ab+1)|>1/2 <=> -|1/(ab+1)|<-1/2 (2)
de (1) et (2) on trouve que : -|(a+b)/(ab+1)| > -1 d'où |(a+b)/(ab+1)|<1

exo 4) :
on doit montrer que : ∀n≥24;∃(p,q)∈N^2 :n=5p+7q
donc on doit trouver p et q de IN tel que 5p+7q ≥24
5p+7q ≥5*2+7*2
5p-5*2+7q-7*2≥0
5(p-2)+7(q-2)≥0
p-2≥0 alors p≥2 et q-2≥0 alors q≥2
d'où on conclut que ∀n≥24;∃(p,q)∈N^2 :n=5p+7q est juste

exo 5):
on doit montrer que : ∀(a,b)∈R^2: |a|<1 et |b|<1 ⇒ |a+b|<|1+ab|
⇒ a²+b²+2|ab|<1+a²b²+2|ab|
⇒a²-1+b²-a²b²<0
⇒a²-1+b²(1-a²)<0
⇒(a²-1)(1-b²)<0
⇒a²-1<0 et 1-b² >0
⇒a²<1 et b²<1
⇒|a| <1 et |b| <1

stp je veu continuer mais jé po compris
estckon a a²+b²=1 et c²+d²=1 et on doit montrer ke |ac+bd|≤1
oubien l'inverse !!

Exo6)
on doit monter que :
a²+b²=1 et c²+d²=1 ⇒ |ac+bd|≤1
on va utilisé le contraposée
|ac+bd|>1⇒ a²+b²≠1 où c²+d²≠1
raisonnement par absurde on suppose que a²+b²=1 et c²+d²=1
on a |ac+bd| >1 alors ac+bd >1 où ac+bd <-1
(a²+b²+c²+d²)/2=1
donc ac+bd >(a²+b²+c²+d²)/2
a²+b²+c²+d² <2(ac+bd)
(a-c)²+(b-d)² <0
contradiction

donc : |ac+bd|>1⇒ a²+b²≠1 où c²+d²

dapres cke jé compris on va considéré la 1ere
on a a²+b²=1
c²+d²=1
donc a²c²+b²c²+a²d²+b²d²=1 produit
a²c²+b²d²=1-b²c²-a²d² *
on doit montrer ke:
|ac+bd|=<1 ==> a²c²+b²d²+2abcd=<1
ON REMPLACE PAR *
donc
on doit montrer ke:
A=-b²c²-a²d²+2abcd=<0
On a -(bc-ad)²=<0
donc A=<0
et voici!!!

meme minute samix ^^

POur la derniere il vaut mieu ke tu explike bien

je vous remerçie tous pour vos réponse , mercii
qu'est ce que tu n'a pas compris, sur l'exo 7 ??

2 rien!
jé po compris c kon a et ce kon doit démontrer

montrez que ∀n≤3∶(1+1/n)^n<n

on doit montrez que ; mahma yakoune n asguar awe youssaoui 3, fayina ∶(1+1/n)^n<n vraix

nn c faux prend n=2
tu aura (3/2)²<2
9/4<2????????????????

ta raison donc l'exercice est faux

sais tu comment reoudre cette exercice :

litakoun F dala tazaioudya alla I , wa a wa b ounsourayne mine I bihaytou : F(a)=b et F(b)=a

montrez que a=b

je crois ke la kestion est mahma yakon n>=3 ...............
SI C oui on fé la récurrence!!

ok si tu trouve l'expliquation , poste la moi est merci

puiske f est tazayodia
supposons ke a>b
donc f(a)>f(b)==> b>a contradiciton
supposons ke b<a
donc f(b)<f(a) ==> a<b contradiction
donc a=b

j'ai pas compris cette partis

f(a)>f(b)==> b>a contradiciton

car tu a f(a)=b et f(b)=a
et ns on asupposé ke a>b
et on a trouvé ke b>a donc contradiciton
la supposition est fausse
meme chose pour la 2eme