Problème de la semaine N°207-208 (12/10/2009-25/10/2009)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
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Solution postée (par Mp)

a = racine de 5 et b= racine de 5 et c = 2 rac de 5 /5

dans IR + b1 sur

alidos a écrit:

a = racine de 5 et b= racine de 5 et c = 2 rac de 5 /5

Je pensais qu'il fallait résoudre le système dans IN non ?

J'ai trouvé S={(2,3,1);(3,2,1)}

Bon, je vous propose de lire ma solution. Je vous pris de me signaler s'il y a une erreur.

On a d'après le système de l'énoncé:

a+b=5c
ab-1=5c²

==> c(a+b)=ab-1
D'où: ac+bc=ab-1

Donc: a(c-b)=-(1+bc)

D'où: a(b-c)=1+bc
Donc: a= (1+bc)/(b-c)

Et pour que cette solution soit valable dans IN, il faut que (1+bc)/(b-c) soit positif.

1er cas: a=0

Si on remplace a par 0 dans le système de l'énoncé, on trouve: 5c²=-1
Ce qui est absurde.

2ème cas: a>0

=> a>= 1 puisque a est un entier.

D'où: 1+bc>= b-c

D'où: 1+c>=b-bc

Donc: b=<(1+c)/(1-c)

Et puisque b est un entier aussi, il faut que b soit positif.

Et pour cela, il faut que 1-c>= 0 (puisque 1+c est strictement positif)
D'où: c=<1

=> c=0 ou c=1

Mais c=0 ne vérifie pas le système de l'énoncé, on garde donc c=1.

Notre système devient donc:

a+b=5
ab=6

D'où: b=6/a


D'où: a+6/a= 5

Donc: a²-5a+6=0

Il suffit de résoudre une simple equation du second degrès:

a=2 ou a=3

Si a=2 ==> b=3

Et si a=3 ==> b=2


Le système admet donc deux solutions dans IN^3 :

S={(2,3,1);(3,2,1)}

Sauf erreur.

Soukaina Amaadour a écrit:

2ème cas: a>0
=> a>= 1 puisque a est un entier.
D'où: 1+bc>= b-c

On n'aura plus ce qui est en rouge que si le nombre b-c, avec lequel on a multiplié membre par membre les deux côtés de l'inégalité, soit positif.
Cela n'est nulle part précisé dans ta solution.

nmo a écrit:

Soukaina Amaadour a écrit:

2ème cas: a>0
=> a>= 1 puisque a est un entier.
D'où: 1+bc>= b-c

On n'aura plus ce qui est en rouge que si le nombre b-c, avec lequel on a multiplié membre par membre les deux côtés de l'inégalité, soit positif.
Cela n'est nulle part précisé dans ta solution.

Oui oui ca m'as complétement échapé !
Merci de m'avoir averti nmo.