BSR à Toutes et Tous !!
BSR Yassino !!
Je prends le relais de Radouane pour répondre à ta dernière question ....
Comme tes deux suites sont adjascentes , on peut écrire :
un< L<vm pour tous n, m entiers .
Si on suppose que leur limite commune L est rationnelle alors on pourrait écrire L=p/q avec p et q dans IN*
On choisit dans l'encadrement précédent n=m=q donc ou aura :
uq <L < vq
Si on multiplie par q! alors uq . q! < p.(q-1)! < vq .q!
Or uq . q!=q! . Sigma (de k=0 jusqu'a k=q) 1/k!
=Sigma (de k=0 jusqu'a k=q) q! /k!
C'est un entier puisque si 0<=k<=q alors q!/k!=(k+1).(k+2).....q ou bien égal à 1 si k=q .
On pourra alors poser A=uq . q! entier naturel .
Maintenant calculons vq . q!={Uq+1/q!} . q! = A +1
Par conséquent on pourra conclure de ce qui précède que :
A < p.(q-1)! <A+1
Ce qui est ABSURDE : p.(q-1)! entier ne peut être STRICTEMENT COMPRIS entre deux entiers consécutifs A et A+1 ,
Donc , selon le raisonnement par l'absurde :
L est IRRATIONNELLE.
LHASSANE
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