exo

Soient a £ IR et f la fonction definit sur IR*+ par : f(x)=x^a.ln(x)
1) montrer que pout tout n£N, il existe (an,bn)£ IR² tq:
f^(n)(x)=x^(a-n).(an.ln(x)+bn).
2) Calculer an et bn en fonction de n.

par récurrence sur n.
pour n=0,on prend a_{0}=1,b_{0}=0.

supposons que la la propriété est vraie pour un certain rang n et montrons le pour n+1.

f est de classe C^{00},alors f^{n+1}=(a-n)*x^{a-n-1}(a_{n}*ln(x)+b_{n})+x^{a-n-1}*a_{n}=x^{a-n-1}*((a-n)*a_{n}*ln(x)+a_{n}+(a-n)*b_{n}),on prend donc:

a_{n+1}=(a-n)*a_{n} et b_{n+1}=a_{n}+(a-n)*b_{n}.....

J'ai fait la même chose !!
pour le 2 j'ai utiliser :
a_{n+1}=(a-n).a_{n}
et
b_{n+1}=a_{n}+(a-n).b_{n}
comme étant des suites et j'ai procédé ....