besoin d'aide

on a une fonction f définie ainsi :
f(x)=xarctan(1+racine carée (1+x²)/x)
f(0)=o

j'arrive pas a démontrer que quelque soit x de R plus étoile
f(x)=p/2x-x/2arctanx

f(x) = x.Arctan([1 + √(1+x²)]/x)
==> f(x) = x.Arctan(x/[√(1+x²) - 1])
==> f(x) = x( pi/2 - Arctan([√(1+x²) - 1]/x) )
==> f(x) = pi/2.x - x.Arctan([√(1+x²) - 1]/x)
==> f(x) = pi/2.x - x.Arctan(x/[√(1+x²) + 1])

Pour aboutir à l'égalité voulue, il nous suffit donc de montrer que Arctan(x/[√(1+x²) + 1]) = 1/2.Arctan(x)
c.à.dire que tan(2Arctan(x/[√(1+x²) + 1])) = tan(Arctan(x))
c.à.dire que tan(2Arctan(x/[√(1+x²) + 1])) = x

Or, tan(2Arctan(x/[√(1+x²) + 1])) = tan(Arctan(x/[√(1+x²) + 1]) + Arctan(x/[√(1+x²) + 1]))

==> tan(2Arctan(x/[√(1+x²) + 1])) = 2 ( x/[√(1+x²) + 1] ) / ( 1 - x²/[√(1+x²) + 1]² )

==> tan(2Arctan(x/[√(1+x²) + 1])) = 2x[√(1+x²) + 1]/([√(1+x²) + 1]² - x²)

==> tan(2Arctan(x/[√(1+x²) + 1])) = 2x[√(1+x²) + 1]/2[√(1+x²) + 1])

==> tan(2Arctan(x/[√(1+x²) + 1])) = x

Et voilà.

matherror c'est juste ce qui tu as fais seulement on peut utiliser l'équivalence tout simplement. non? et écrire seulement les 5 premières lignes ^^

merci matherror et hindou j'avoue j y avais pas pensé ^^ mais pouvez m'expliqué la propriété utilisé dans ce passage :
==> f(x) = x.Arctan(x/[√(1+x²) - 1])
==> f(x) = x( pi/2 - Arctan([√(1+x²) - 1]/x) )

ah c'est bon arctanx + arctanx (1/x) = pi/2 c'est bien la propritété utilisée non lors de ce passage ?