O(n)

Bonjour,
Soit n>=2, On munit E=IR^n de sa structure canonique d'espace euclidien.
1) Montrer que l'ensemble des projecteurs de E est fermé mais non compact
2) Montrer que l'ensemble des projecteurs orthogonaux de E est compact.

Bonjour,

L'application qui à f associe f°f- f étant continue, l'ensemble des projecteurs est fermé. De même pour f donne f-f* donc les
orthogonaux sont fermés aussi.

Si p est orthogonal llxll>= llp(x)ll Pythagore d'où llpll =< 1.
Fermé borné les orthogonaux sont compacts.


lolo

Bonsoir lolo
Pourquoi les projecteurs ne forment pas un ensemble borné. pour le reste
c'est trés bien

AA+

Bonsoir,

Suffit de faire en dimension 2 (quitte à prolonger par 0) , on définit
le projecteur pn par pn(e1)=e1 et pn(e2+ne1)=0
alors pn(e1+e2) = pn( (1-n)e1 +(e2+ne1) ) = 1-n

d'où ll pn ll >= n-1 (avec la norme sup ) les projecteurs sont pas bornés.

lolo