jolie inégalité d'un oral

soit f,g:[0,1]-->[0,1] deux fonctions continues.
supposons que f est croissante,montrer que int_{0}^{1}f(g(x))dx =< int_{0}^{1}f(x)dx+int_{0}^{1}g(x)\dx

bonsoir a tous ,
commençons par un petit lemme :
pour x dans [0,1] on a: f(x)<= int_{0}^{1}f(t)dt+x
pour le voir il suffit de diviser l'integrale sur les intervalles [0,x] et [x,1],
ainsi pour x dans [0,1] on a f(g(x))<=g(x)+int_{0}^{1}f(t)dt
(car g([0,1])C[0,1] )
en integrant cette inegalité entre 0 et 1 ,le resultat decoule