bonsoir
LE TROISIEME CAS se base sur le raisonnement suivant qui peut etre aisement demontré:
(*) si |x|<1 et |y|<1 alors |xy|<1par symetrie des roles supposons que a>=b>=c
1)cas 1:
si a b et c sont positifs le resultat devient donc evident:
ab+bc+ca+1>=1>0
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2)-cas2:
si a b et c sont négatifs la meme chose ab+bc+ca+1>=1>0
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3)-cas3:
si deux nombre sont positifs et un est négatif:
et on a :a>=b>=c
alors a et b sont positif et c est négatif
on a a<1 alors ab<b et b<1 alors ab<a d'où 2ab<(a+b)
d'où c(a+b)>2abc
donc ab+c(a+b)+1>ab+2abc+1=ab(1+2c)+1
on a 0>c>-1 alors
1>1+2c>-1 (1)en utilisant (*)
1>ab>-1 (2)de (1) et (2) et en utilisant (*) on a:1>ab(1+2c)>-1
alors ab(1+2c)+1>0 CQFD....
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4)- cas 4:
un nombre est positif et les deux autres sont négatifs:
on a : a>=b>=c
alors c'est a le posotif ...b et c sont les négatifs.......
a<1 alors ab>b et ac>c d'où ab+ac>b+c
alors ab+ac+bc+1>b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0
CQFD.....
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