Bonjour.
Montrons d'abord que lim x^n/n!=0 pour 0<x en envisageant trois cas:
Cas 1: x=1.
On a: pour tout 2<n,0<1/n!<1/n.Or lim 0=lim 1/n=0,donc lim 1/n!=0.
Cas 2:0<x<1.
On a: lim x^n =lim 1/n! =0 ,donc lim x^n/n! =0.
Cas 3:1<x.
Il existe p dans IN* tel que 2x<p(prendre p=E(2x)+1).
On a:pour tout p<n, x^n/n! =(x/1).(x/2)...(x/p).(x/(p+1))...(x/n) et (x/n)<1/2.
Donc pour tout p<n,0<x^n/n!<(x^p /p!).(1/2)^(n-p).
Soit pour tout p<n, 0<x^n/n!<2^p.(x^p/p!).(1/2)^n.
Or lim 0 =lim 2^p.(x^p/p!).(1/2)^n =0, donc lim x^n/n! =0.
Conclusion 1: si 0<x alors lim x^n/n! =0.
Montrons que pour x<0 , lim x^n/n! =0 en calculant la limite de la valeur absolue de x^n/n! ( en s'aidant du résultat de la conclusion 1).
On a: lim l x^n/n! l = lim lxl^n/n! =0 car 0<lxl (d'après conclusion 1).Donc lim x^n/n! =0.
En conclusion: pour tout x non nul , lim x^n/n! =0.
Remarques:
# Le résultat reste vrai pour x=0 (facile).
#Il es sous -entendu que n tend vers + l'infini dans les limites précédentes.
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