evn

salut pour les ét de spé
E = C[X] a élément de C ; |a |< 1
F={P £ E / |P(a)| > 0}
montrer que F est une partit ouverte de E.
peut on conclure de même si |a| > 1?
bon courage

on peut montrer que l'enssemble des P tel que lP(a)l=0 est un fermé de E ,son complementaire F est un ouvert de E ,
mais ou sert la condition lal<1???

je note G mon enssemble ,
considerons une suite (Pn) a elements dans G qui converge uniformement vers P , la convergence est en partulier simple , du coup lim(Pn(a))=P(a)=0
donc P appartient a G , et G est fermé ,
y a t-il une erreure?
et pourquoi G n'est pas le complementaire de F?

aissa a écrit:

salut pour les ét de spé
E = C[X] a élément de C ; |a |< 1
F={P £ E / |P(a)| > 0}
montrer que F est une partit ouverte de E.
peut on conclure de même si |a| > 1?
bon courage

Pour quelle topologie sur C[X]? n'oublier pas que C[X] est de dimension infinie ===> il y a des normes d'evn qui ne sont pas équivalentes

Je pense dans l'exo, on prend ||P||=sup|P(x)| / x€[-1,1]
Si |a|<1, alors la forme linéaire de E : f(P)=P(a) est continue ==> F ouvert

Si |a|>1, chercher une suite convergente (P_n) de E vers un P tq qqs n€N*, P_n(a)=0 mais P(a) non nul

merci Abdelbaki, la norme est : pour P = sum(aix^i;de i=o à n )
||P|| = sup|a_i| i=o à n
l erreur de Mr fermat est que la limite n'est pas forcément une fonction polynomiale!