Question n°2: Limites et Continuité

Soit f: IR+ ---> IR+ croissante telle que :


1) Montrer que lim_{x-->+00} f(x) / ln(x)=0
2) A-t-on le même résultat si f continue?

SOLUTION


1) Soit eps>0, il existe a>1 : x>a ==> f(2x)-f(x)<eps
Pour n entier>1 , 2^n>a on a : f(2^(n+1))-f(2^n)<eps.

Alors f(2^n)/n -->0 par Cesàro.

Soit x>1 et n=[ln(x)/ln(2)]
==> nln(2)<ln(x)<(n+1)ln(2) ==> 2^n<x<2^(n+1)
==> f(2^n)/(n+1)ln(2)<f(x)/ln(x)<f(2^(n+1))/nln(2)
==> lim_{x-->+00} f(x) / ln(x)=0

2) Si f continue ( non nécessairement croissante ) alors ...