diviseur topologique de zéro

Soit (E, || ||) une algèbre de Banach complexe et unitaire d'unité e avec || e||=1. Un élément x de E est un diviseur topologique de 0 ( d.t.z) s'il existe une suite (x_n) de E telle que ||x_n ||=1 pour tout n et les suites (xx_n) et (x_nx) tendent vers 0.

Montrer que si E n'admet que 0 comme d.t.z alors E=C corps des complexes.

Bon on peut facilement voir que la condition signifie simplement que tout élément est inversible... ça peut par exemple être fait en considérant le spectre.
Donc on a un corps et c'est fini grâce à Gelfand-Mazur.

mathman a écrit:

Bon on peut facilement voir que la condition signifie simplement que tout élément est inversible... ça peut par exemple être fait en considérant le spectre.
Donc on a un corps et c'est fini grâce à Gelfand-Mazur.

Ce n'est pas simple comme tu le crois!

Bon, peut être que ça ne l'est effectivement pas...

Hmm... bon pour un élément x, considérons son spectre. On a montré qu'il était non-vide et pas tout C, donc il y a un point y sur son bord; mais alors x-y ne doit pas nécessairement être un dtz, donc c'est 0.
Donc on a x=y pour un y dans C ce qui prouve notre résultat immédiatement. (???)
(on identifie C à C*e où e est l'unité)

EDIT: l'argument doit être faux.
Ca impliquerait Gelfand-Mazur je pense.

Hmm.. je suis trop fatigué pour y réfléchir maintenant; je verrai ça demain.

Ah! je pense que l'on avait besoin d'avoir un espace de Hilbert pour prouver les trucs avec le spectre.
C'est pour ça que ma preuve ne marche pas.
Cependant, je pense que tout à part la "non-vide-ité" est vrai...
Mais alors, tout élément est inversible, et on peut utiliser Gelfand-Mazur.

mathman a écrit:

Ah! je pense que l'on avait besoin d'avoir un espace de Hilbert pour prouver les trucs avec le spectre.
C'est pour ça que ma preuve ne marche pas.
Cependant, je pense que tout à part la "non-vide-ité" est vrai...
Mais alors, tout élément est inversible, et on peut utiliser Gelfand-Mazur.

C'est loin de là! pas besoin de Hilbert.
Oui pour spectre non vide et compact.
Il reste à montrer que pour tout point z du frontière du spectre de x non nul , x-ze est un d.t.z de 0.

Ben, est-ce qu'on n'avait pas fait le dernier truc il y a quelque temps? Ce n'est pas dur.

Oui, mais relatif