oly

x,y,z >= 0 .. Prouver que :

on a ce genre d'es à dima dima
je croix tu vas utiliser les idontités remarquable et des astuces

peut être mais il faux tout de même voir si c est vrais ou on vas faire autres chose

morris a écrit:

on a ce genre d'es à dima dima
je croix tu vas utiliser les identités remarquable et des astuces

je le crois pas....sinon montre nous ta démonstration....

MohE a écrit:

c'est une ancienne inégalité de VasC (si je ne me trompe pas) ma solution était en utilisant Schur, égalité si et seulement si x=y=z=1

exactement c'est une application directe de shur et AM-GM...en effet....
x²+y²+z²+9xyz/(x+y+z)>=2(xy+yz+zx) (par shur)
il suffit donc de demontrer que 2xyz+1>=9xyz/x+y+z:
on a 2xyz+1=xyz+xyz+1>=(3xyz)^1/3 (par AM-GM)
et encore par (AM-GM) on a :(3xyz)^1/3>=9xyz/x+y+z
C.Q.F.D

c'étais un problème de semaine,et je me rappelle j'ai fait une généralisation pour ce problème!

ça m'empéche pas de féliciter majdoline pour cette belle solution! surtout qcq en 6-ième et qui sait bien c'est quoi Schur,je peux que le saluer chaleureusement!

c est une bonne repense majdouline

soulution

par symétrie, on peut supposer que

posons:

on a:





[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi f(x,y,z)-f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz}=(\sqrt{y}-\sqrt{x})^2[(\sqrt{y}+\sqrt{x})^2+1-2x][/img]



or

donc:

et ansi

avec égalité ssi

possons et

alors et

et on a :












alors avec égalité ssi

donc avec égalité ssi

c.à.d.

bonne chance

J'ai trouvé une façon sans faire l'inégalité de Schur:
on a (x+y+z)²=x²+y²+z²-2(x+y+z)>=0
donc x²+y²+z²>=2(x+y+z)
et puisque 2xyz+1>=0
donc x²+y²+z²+2xyz+1>=2(xy+yz+zx)
C'est juste?????????????

yassine-516 a écrit:

J'ai trouvé une façon sans faire l'inégalité de Schur:
on a (x+y+z)²=x²+y²+z²-2(x+y+z)>=0
donc x²+y²+z²>=2(x+y+z)
et puisque 2xyz+1>=0
donc x²+y²+z²+2xyz+1>=2(xy+yz+zx)
C'est juste?????????????

Je me demande bien si (x+y+z)²=x²+y²+z²-2(xy+yz+zx) !!

NON.
C'est faux yassine-516.car (x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)
Alors il faut que tu trouve une autre solution !!!!

yassine-516 a écrit:

J'ai trouvé une façon sans faire l'inégalité de Schur:
on a (x+y+z)²=x²+y²+z²-2(x+y+z)>=0
donc x²+y²+z²>=2(x+y+z)
et puisque 2xyz+1>=0
donc x²+y²+z²+2xyz+1>=2(xy+yz+zx)
C'est juste?????????????

c'est faux ( ce qui est en rouge ) prend x = 1/2 y =1/4 et z = 1/8 ... de plus
ton identité remarquable est aussi fausse .