intriguant

trouver tous les polynomes a deux variables P(x,y) =Ax²+Bxy+Cy² de Z[x,y] ( c'est a dire a coefficients entiers) qui sont :
a) injectifs.
b) surjectifs.

ps : penser à la generalisation

pas de propositions ?

salut 0000 tu peux te patienter un peu,car ça n'a pas l'air d'être simple,donc nous faut un peu de temps!

ok je serai patient mais j'en ai trouvé une solution

et j'aimerais voir d'autres solution......

0000 a écrit:

trouver tous les polynomes a deux variables P(x,y) =Ax²+Bxy+Cy² de Z[x,y] ( c'est a dire a coefficients entiers) qui sont :
a) injectifs.
b) surjectifs.

ps : penser à la generalisation

Les polynomes injectifs n'existent pas ( P(x,-y)=P(-x,y) )
Cherchons les surgectifs :
si on considere la forme quadratique Q(x,y) =Ax²+Bxy+Cy²
Q non degeneré => AC-B²/4 non nulle , et pour qu'elle puissque atteindre les valeur negatives et les positives aussi il faut que les valeurs propres soient de signes contraires ( comme ca on aura lorsqu'on ecrit Q sous forme canonique une qunatité qui peut parcourire R ( en tendant resspectivement x et vers +00 ..) donc il faut que AC-B²/4<0
sous la condition : 4AC<B².
Q(x,y)=a[X+sY]²-b[X+rY]² ( a , b >0 et a-b=A+C , ab=-AC+B²/4)
sous cette forme il est claire que Q est surgective .
alors la condition sur A,B,C vient du fait qu'il doit exister a et b tel que a ,-b verifient : t²-(A+C)t-AC+B²/4=O donc le discriminant doit etre >0
A²+C²+6AC-B²>O et 4AC<B² ,
On a qu'a chercher les entiers verifiants ces inegalitées sauf erreur de ma part ..
( j'ai pas fait les calculs comme il faut et il se peut qu'il y'ait des erreurs dedans .. )

pour l injectivite c est fqux cqr on a bien (x,-y) est diferent de (-x,y)
POUR LA SURJECTIVITE, ON EST DANS Z pas dans R donc si n est un entier il faut ;ontrer l existence d un couple (x,y) de ZxZ [pas de RxR ] qui verifie Q(x,y) = n

0000 a écrit:

POUR LA SURJECTIVITE, ON EST DANS Z pas dans R donc si n est un entier il faut ;ontrer l existence d un couple (x,y) de ZxZ [pas de RxR ] qui verifie Q(x,y) = n

Ceci n'est pas mentionnée en enoncé !
OK a refaire plus tard

trouver tous les polynomes a deux variables P(x,y) =Ax²+Bxy+Cy² de Z[x,y] ( c'est a dire a coefficients entiers) qui sont :
a) injectifs de ZxZ vers Z
b) surjectifs de ZxZ vers Z

pour faciliter la tache commencez par
trouver tous les polynomes a deux variables P(x,y) =Ax²+Bxy+Cy² de Z[x,y] ( c'est a dire a coefficients entiers) qui sont bijectif de Z² vers Z (injectifs et surjectifs en meme temps)