Récurrence

ça marche pas pour n=0 et pour n=1!

Exactement !!
Le problème réside précisément dans l'indice n Qui sera n+1 lors de la démonstration de réc !!
Je ne sais pas comment procéder et utiliser la supp de réc ..
J'ai pensé à multiplier par x Mais je n'est rien eu !

Personne n'a une idée !

mehdibouayad20 a écrit:

Personne n'a une idée !

BSR Mehdi !!

Quelques idées mais calculs non finalisés ....

Pour n=1 : C'est VRAI
Supposons que la propriété soit VRAIE pour n c'est à dire que :
{fn}^(n)(x)={(-1)^n/x^(n+1)}.exp(1/x)=G(x)

Alors : {f(n+1)}^(n+1)(x)={x.fn }^(n+1)(x)
J'ai remplacé f(n+1) par x.fn
Maintenant la Formule de LEIBNITZ donnera :
{x.fn}^(n+1)(x)=x.{fn}^(n+1) + (n+1).{fn}^n(x)
=x.{{fn}^n}'(x) +(n+1).{fn}^n(x)
=x.G'(x) + (n+1).G(x)

Si tu pouvais continuer les calculs ...

LHASSANE

PS : DSL Mehdi , c'est la Formule de LEIBNITZ donnant la Dérivée (n+1)-ième du produit de deux fonctions suffisamment dérivables ....

C'est exactement ce que j'ai fait
J'ai eu l'idée de remplacer f(n+1) par x.fn ..
je vais réessayer avec le calcul !!!
Merci

Oeil_de_Lynx a écrit:

....
Pour n=1 : C'est VRAI
Supposons que la propriété soit VRAIE pour n c'est à dire que :
{fn}^(n)(x)={(-1)^n/x^(n+1)}.exp(1/x)=G(x)

Alors : {f(n+1)}^(n+1)(x)={x.fn }^(n+1)(x)
J'ai remplacé f(n+1) par x.fn
Maintenant la Formule de LEIBNITZ donnera :
{x.fn}^(n+1)(x)=x.{fn}^(n+1) + (n+1).{fn}^n(x)
=x.{{fn}^n}'(x) +(n+1).{fn}^n(x)
=x.G'(x) + (n+1).G(x)

Si tu pouvais continuer les calculs ....

On pose u : x------> u(x)=x de ]0;+oo[ dans IR
Alors f(n+1)=u.fn au sens des fonctions
On applique la Formule de LEIBNITZ en remarquant que :
u^(0)=u par convention
u^(1)=u'=1 puis u^(k)=0 dès que k >=2
Donc dans la Formule de LEIBNITZ :
{f(n+1)}^(n+1)= SIGMA { k=0 à (n+1) ; C(n+1;k).u^(k).fn^(n+1-k) }
on n'aura que DEUX TERMES , ceux qui correspondent à k=O et 1

Donc {f(n+1)}^(n+1)= u.{fn}^(n+1) + C(n+1;1).{fn}^(n)
=u.{{fn}^(n)}' + (n+1){fn}^(n)
=u.G' +(n+1).G

Voilà !!!!

LHASSANE

Problème résolu !
Merci beaucoup Mr.LHASSANE !!