une equation fonctionnelle pour passer le temps

0000 a écrit:

j'en ai la solution de toute facon on peut pas la trouver sans continuité de f

pour moi je crois pas peut etre la continuité en 0 entraine la continuité sur R

et puisque f(0)=0 on peut la prolonge par continuité ...

en tt cas j'aimerai bien voir votre reponse Mr 4*0
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en effet on obtient une equation de cauchy et puisque f est continue en 0 donc il est connu qu'elle le doit etre sur tout R

0000 a écrit:

en effet on obtient une equation de cauchy et puisque f est continue en 0 donc il est connu qu'elle le doit etre sur tout R

et bien !! tu as comis une faute !!

on peut pas dire que f est continue en 0 !!! f admet une image ça veut dire pas qu'elle est continue j'ai dis qu'on peut la prolonger en 0 d'une autre part on peut par des changement de x et de y de tomber par hasard sur l'ef de cauchy mais en tt cas il ny'a pas l'equivalence entre ces deux e.f
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f est continue en 0 c'est une donn"e de l'exo

0000 a écrit:

f est continue en 0 c'est une donn"e de l'exo

ah oui désolé je l'ai pas vue

reslt!!
j'ai travaillé ce matin sur cette e.f une autre fois et voilà ce que j'ai trouvé:

on a comme donnée : P(x,y):f(x+2f(y))=f(x)+f(y)+y

notons f(0)=b.

P(0,0)==>f(2b)=2b.

P(-2b,0)==>f(-2b)=0.

P(0,-2b)==>b=-b==>b=f(0)=0.

P(y-2f(y),y)==>f(y-2f(y))=-y==>f est surjective.

donc puisque f est surjective ==> 2f surjective aussi.

P(0,y)==>f(2f(y))=f(y)+y, donc en posons z=2f(y) on aura:

P(x,z):f(x+z)=f(x)+f(z) pour tt (x,z)£IR.

c l'e.f de cauchy,donc puisque f est continue en 0==>continue en IR ce qui nous mène à déduire que:

f(x)=a.x /a£IR,et en remplacons dans l'e.f nous aurons a=1 ou a=-1/2,donc les finales solutions sont:

f(x)=x pour tt x£IR
f(x)=-x/2 pour tt x£IR.

je pense que P(-2b,0)==>f(-2b)=0 est fausse
en plus P(x,z):f(x+z)=f(x)+f(z) pour tt (x,z)£IR est fausse tu n'as pas bien remplacé

oh!! mais qu'est ce que tu racontes ,tu dit trop de remarques sans utilité!!
P(-2b,0): f(-2b+2f(0))=f(0)=b
f(-2b)+f(0)+0=f(-2b)+b alors b=b+f(-2b)==>f(-2b)=0 (lis bien une autre fois !)

pour le remplacage !!

z=2f(y) f(x+2f(y))=f(x+z) et f(y)+y=f(z) en plus f(x)=f(x) si je me trompe pas!!

donc f(x+z)=f(x)+f(z) pour tt x,z£IR (la surjectivité de f)!!

pk j'ai verifié c'est bon
ecxuse moi mais je n'avait pas beaucoup de temps pour lire donc j'ai pas bien fond' mes dires
de tout facon tous les methodes doivent mener a l'equation de cauchy

pas grave^^
en faite,merci pour ce pb lol(il a bougé le forum un peu!!)