exo difficile!!!

bonsoir

1 ) pour x = y on a : f(2x) = ( f(x) )^2 >= 0

donc , par exemple (- 1) n'a pas d'entésédent ( sabi9 )

d'où , f n'est pas surjective

2 ) je cherche encore

@ + .

mais je pense que f(x) est positive seullement dans le cas que tu a s pris.

f(x+0)=f(x)f(0)=f(x) ==> f(0)=1
on va demondrer que 0 n'a pas d'intecedant.
on supose que f(x)=0 ==> f(x)f(-x)=0
d'un autre coté f(x)f(-x)=f0)=1 contradiction
donc 0 n'a pas d'intecedant.
2/ aussi entrain de chercher

voila ma réponse:
Pour x=y=0
f(0)=(f(0))^2=>f(0)=0 ou f(0)=1
on étudie le cas de f(0)=0
(y=0 et quelquesoit x ds IR*)=>f(x+0)=f(0)f(x)
=>f(x)=0f(x)
=>f(x)=0
donc f n'est pas surjective
Dans le cas f(0)=1
on prend x=-y==>f(x)(-x)=1
on suppose que f est surjective donc il existe x'de IR tel que quelquesoit y de IR f(x')=0
f(x)(-x)=1=>f(x)0=1 voila la contradiction
donc f n est pas surjective
Pour la 2 eme j ai pas encore trouvé

Je pense que ya une petite contradiction dans la question deux ...
Mais je n'en suis pas sur :
donc voila ... 0 appartient a R et on a
pour tout x de R f(x)différent de 1 : donc f(0) différent de 1
or dans la premiére parti de l'énoncé f(0) = 1 c une contradiction

je pense que faudrait corriger ton énnoncé en faisant pour tout x de
R* .... j'espér que ce que j'ai di est just ^^

P (==) Q est équivalente à nonP (==)nonQ

donc on doit démontrer que : f(0)# 1 ou il existe a £ IR* (==) f est injective .

du premier sens : f(0) # 1 ==) f(0)= 0 ==) quelque soit x £ IR f(x+0)=f(0).f(x)= 0 ==) f n'est pas injective.


De l'autre sens

f n'est pas injective ===) il exist (b,c)£ IR : f(c) = f(b) (a#b)
===) f(c-b) = f(c).f(-b) = f(c)/ f(b) = 1
===) il existe a £ IR* (a=b-c) : f(a) = 1


CONCLUSION :

f est injective (===) f(0) = 1 et quelque soit x £ IR* : f(x) # 1.

(==) : équivalence

f(c).f(-b) = f(c)/f(b)

car ( f(x-x) = f(x).f(-x) ==) f(-x)=1/f(x). )

c'est le cas pour f(0) = 1

sinon ( f(0) # 1 ) , ça nous mène directement à l'implication.

Merci {}{}l'infini

voici ça mieux et claire :