equation fonctionnelle 2

Sujet: equation fonctionnelle 2 Sam 14 Nov 2009, 17:44

D2TERMINER les fonctions f R--> R+* continues tel que
pour tout x et y de R on a : f((x+y)/2) = sqrt(f(x)f(y)

Sujet: Re: equation fonctionnelle 2 Sam 14 Nov 2009, 18:20

salut

les solutions trivials:

f(x)= α > 0
les autres solutions:

je pose P(x;y) : f((x+y)/2) = V(f(x)f(y)) et f(0) = a

alors: P(x;-x) : f(-x) = a/f(x)

P(x ; 0) : f(x/2)² = a f(x) ==> f(x/2) = Va f(x)^1/2

par reccurence f(x/2^n) = a^(2(1-0.5^n)) f(x)^(1/2^n)

on fait tendre n-->+00 puisque f est continue alors

a = a^2 ===> a=1 (car a#0) f(0)=1

donc f(2x) = f(x)²

d'une autre part : P(2x;2y) : Q(x;y) : f(x+y) = V(f(2x).f(2y)) = f(x)f(y)

ce qui est evident à resoudre car les solutions son de la forme

f(x) = (f(1))^x avec x£IR

----------------------------

wagshall a écrit:: salut

les solutions trivials:

f(x)= α > 0
les autres solutions:

je pose P(x;y) : f((x+y)/2) = V(f(x)f(y)) et f(0) = a

alors: P(x;-x) : f(-x) = a/f(x)

P(x ; 0) : f(x/2)² = a f(x) ==> f(x/2) = Va f(x)^1/2

par reccurence f(x/2^n) = a^(2(1-0.5^n)) f(x)^(1/2^n)

on fait tendre n-->+00 puisque f est continue alors

a = a^2 ===> a=1 (car a#0) f(0)=1

donc f(2x) = f(x)²

d'une autre part : P(2x;2y) : Q(x;y) : f(x+y) = V(f(2x).f(2y)) = f(x)f(y)

ce qui est evident à resoudre car les solutions son de la forme

f(x) = (f(1))^x avec x£IR

----------------------------

Salam alikom,
Par composition du ln : ln(f(x+y)/2)=1/2(ln(f(x))+ln(f(y)))
Ainsi ln(f(x)) est convexe et concave
ln(f(x)) étant continue donc lnof affine
..
A+

oui omr aprés avoir justifier que f >o si f ne s'annule pas

Maître Nombre de messages : 268 Age : 33 Date d'inscription : 11/01/2009

aissa a écrit:: oui omr aprés avoir justifier que f >o si f ne s'annule pas

Bonsoir mr aissa

ce genre de résolution ne donne pas des solutions generales pour l'equation fonctionnelle; heureusement la continuité de f donner la chance ....

A+

je parle pas e ta répense Mr wagchall elle est bonne
pour Mr omar il a donné seulement l'idée ,qui utilise aussi la continuité, alors lnof est affine , réciproquement seules les fonctions x --> e^(cx) ou x --> µ µ > o, sont solutions
si on pose : c=ln(a) a> o
alors les solutions sont x -->(a)^x et les fct contantes positives.