problème N°53de la semaine (30/10/2006-05/11/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour à tous

Solution postée

A bientôt
-- Patrick
voici la solution de pco
Bonjour Samir,

Soit F = {x+9, pour tout x dans E} ==> card(F) = card(E) = 55
E est inclus dans [1,100] Inter N
F est inclus dans [10,109] Inter N ==> card(E U F) <= 109
Donc card(E Inter F) = card(E) + card(F) - card(E U F) >= 1

Donc il existe y de E tel que y est dans F, donc x = y-9 dans E, donc y - x
= 9 avec x et y dans E

CQFD

Bonjour
solution postée
voici la solution d'Akrame
Pseudo : Akrame

Le signe <= veut dire inférieur ou égale .
le signe < veut dire strictement inférieur .

Démonstration par l'absurde :
Hypothèse :
Je pose E = { N1, N2 , ......, N55 } tel que :
quelque soient i et j entiers entre 1 et 55 , Ni différent
de Nj et Ni < Nj

Je suppose que quelque soient i et j entre 1 et 55 Ni est différent de
Nj + 9
donc A1 = N1 + 9 n'appartient pas à E
A2 = N2 + 9 n'appartient pas à E
.............
Ar = Nr + 9 n'appartient pas à E
............;
A45 = N45 + 9 n'appartient pas à E
A46 = N46 + 9 n'appartient pas à E
je sais que N46 < N47 ............ < N55 <= 100

d'ou N46 <= 91
donc N1 < N2 < N3 ..... < N46 <= 91
donc A1 < A2 < A3 ......< A46 <= 100

on trouve alors 46 nombres compris entre 1 et 100 et qui n'appartiennent
pas à E .
Puisque E ne compte que des nombres entre 1 et 100, il contient au
maximum 100-46 = 54 nombres
Donc E ne peut pas contenir 55 nombres, ce qui est en contradiction avec
l'hypothèse .

Bonjour!
Solution postée.
voici la solution de Kendor
Soit E un ensemble de 55 éléments pris dans {1,2,....,100}.
Dans une classe de congruence modulo 9,on dira que m et n sont consécutifs si abs(m-n)=9.(abs(x) désignant la valeur absolue de x)
Il y a 9 classes distinctes modulo 9.
Chacune contient 11 ou 12 éléments appartenant à {1,2,....,100}.
Si aucune classe ne compte au moins 7 éléments de E,alors card A<=6,pour toute classe A.
Alors card E<=9*6=54.Ce qui est faux car card E=55.
Donc il existe une classe A contenant au moins 7 éléments de E.
Donc dans A,il existe deux éléments m et n de E consécutifs,car sinon la classe A contiendrait au moins 13 éléments,ce qui est faux.
Donc il existe m et n consécutifs,c'est-à-dire tels que m-n=9.
CQFD

Kendor

Bonjour
Solution postée.
voici la solution d'Abdelbaki.attioui
Bonjour.
Soit A la partie en question et soit B={n+9 de [1,100]/ n dans A}
Il s'agit de montrer que AnB est non vide.
On a #A=55 alors 55>=#B>=46. Si AnB est vide ==> #(AuB)=#A+#B>=101 impossible
Donc, il existe n dans [1,100] tel que le couple (n,n+9) est dans AxA.
A+

bonjour tout le monde:
solution postée
aissa
و قل اعملوا فسيرة الله عملكم ورسوله مالمؤمنون (ص
voici la solution d'aissa

bonjour tous le monde
par l'absurde x_1<x_2< < x_55 des éléments de {1;2;3;....100}
supposons que pour tout n m de {1,2,....55} on a : x_n - x_m <>9
x_8>8 , x_9 >=18 x_17 >=36 ....x_53 >= 108 absurde.
aissa

Solution postée
voici la solution d'Oumzil
Prouvons par l'absurde :

on considère que l'ensemble E existe .
soit m le plus petit nombre de E .

on a : Card E = 55
et : que pour tout n de E n+9 appartient pas à E
alors E s'escrit comme suivant :

E = { m , m+1 , m+2 , m+3 , m+4 , m+5 , ... , m+8 } U { m+18 , m+19 , ... , m+26 } U { m+36 , ... , m+44 } U { m+54 , ... , m+62 } U { m+72 , ... , m+80 } U { m+90 , ... , m+98 } U { m+108 }

Or tout les nombre de E doiventt etre inférieur à 100 .
et on a : m+108 < 100 ===> m < -8 ===> m appartient pas à IN .

donc l'ensemble E n'existe pas .
alors il doit y avoir au moin deux nombres a et b de E tel que a = b+9
équivaux à dire : il ya au moin deux nombre a et b de E tel que a-b = 9 .

Fin

SALUT
Sollution postée
encore une fois la solution n'est pas trouvée parmis mes mails!!!(administration)

m,n appartiennent à E,m-n=9;n<100 &m<100,card(E)=55
=> (n,m)app{(10+t,1+t)/t appartient à [0,89]}([0,89]={0,.,.,.,89})

solution postée
voici la solution de chifo
bonjour Mr samir
pour la reponse du problem voila se que j'ai fai
soit A l'esemble des couple (m.n) "tel que m et n sont des entier naturel"
et m-n=9
soit F l'esemble tel que Card F=100
supposon par l'absurde que l'esemble E ne contien ps d elemen qui verifi
m-n donc A et E sont disjoint
========> Card F=Card E+Card A
alor calculons le cardinal de A
dans 100 ellemen il existe 5 partie disoin qui contien 9 couple qui verifie
m-n
============> Card A=46
d'ou Card E+Card A=46+55=111
se qui abssurd car Card F =100
alor on deduie que E contien deux entier qui verifie m-n=9

ma sollution est fausse ?

Oumzil a écrit:

ma sollution est fausse ?

Oumzil a écrit:

:
alors E s'escrit comme suivant :
E = { m , m+1 , m+2 , m+3 , m+4 , m+5 , ... , m+8 } U { m+18 , m+19 , ... , m+26 } U { m+36 , ... , m+44 } U { m+54 , ... , m+62 } U { m+72 , ... , m+80 } U { m+90 , ... , m+98 } U { m+108 }

pourquoi ???

merci ! je vois , j'ai pas pris le cas général