un classique sympa !

Montrer que si f est une fonction continue injective d'un interval I dans R , alors elle est strictement monotone

si f n'est pas strictement croissante alors il existe a>b>c

tel que f(b)=<f(a) et f(b)=<f(c) ou f(b)>=f(a) et f(b)>=f(c)

le cas f(a)=f(b) ou f(b)=f(c) montre que f n est pas injective

sinon dans le premier cas f(a)<f(b) et f(c)<f(b)

d'apres TVI tt element de (f(b),max(f(a),f(c))) admet un antecedant dans ]b,c[ et un autre dans ]a,b[ d ou f n est pas injective.
donc f continue , f injective ==> f strict croissante

par l'absurde :
supposons que f est continue et f injective et f n'est pas monotone
il existe (a;b) £ I² tq :
a<b et f(a)>f(b)
et il existe (a',b') £ I² tq :
a'<b' et f(a')<f(b')
Posons g: [0,1] ---> IR / t-->f(ta+(1-t)a')-f(tb+(1-t)b')
on a g(0).g(1)<0
or f est continue sur [0,1]
donc selon TVI
il existe c £ ]0,1[ tq g(c)=0
f(ca+(1-c)a')=f(cb+(1-c)b')
or f est injective donc :
ca+(1-c)a'=cb+(1-c)b'
c(a-b)+(1-c)(a'-b')=0 or c(a-b)+(1-c)(a'-b')<0 ABSURDE

comme application : f bijection continue de [0,1] à [0,1], montrer que {f(0),f(1)}={0,1}.