SEV de K^d

Sujet: SEV de K^d Dim 22 Nov 2009, 11:21

prouver le thm suivant :
soit n£N* et p£N*
soit (u_1, u_2,....,u_n)£(R^d)^n et (v_1,v_2,.....,v_p)£(R^d)^p
si : - p>n
-qlq soit i =1,2,...,p v_i est combinaison linéaire des (u_i)_1=<i=<n
Alors : la famille (v_1,v_2,....,v_p) est liée.

Sujet: Re: SEV de K^d Dim 22 Nov 2009, 15:59

j'ai pas compris ta question lahcen!

Sujet: Re: SEV de K^d Dim 22 Nov 2009, 23:11

la question c'est de pr ce prouver ce resultat.

c'est du cours LahCen ! c'est un corrolaire

voir aussi le lemme de stinetz:
soit F un s e v de R^d et (u_1,...,u_P) une famille génératrice de F alors toute famille (v_1, ...,v_(p+1)) de F est liée
puis toute sur famille d'une famille liée est liée
la preuve se fait par récurrence sur p
c'est du cours comme diser les colleges

je sais que c'est du cours mais j'aimerai bien avoir une demonstration elegante qu 'on a fait en classe

Lahcen BOUNADER a écrit:: prouver le thm suivant :
soit n£N* et p£N*
soit (u_1, u_2,....,u_n)£(R^d)^n et (v_1,v_2,.....,v_p)£(R^d)^p
si : - p>n
-qlq soit i =1,2,...,p v_i est combinaison linéaire des (u_i)_1=<i=<n
Alors : la famille (v_1,v_2,....,v_p) est liée.

BJR Lahcen !!!
Moi , je rejoins le point de vue de Radouane .......

Voilà tu travailles dans l'espace vectoriel IR^d
Tu considères n vecteurs u1,u2,......,un de IR^d
On ne sait pas s'ils sont linéairement indépendants ou non , s'ils forment un système de générateurs ou non de IR^d ..... en fin RIEN sur cette famille là !!
Puis tu considères p autres vecteurs v1,v2,........,vp de IR^d qui sont chacun COMBINAISON LINEAIRE de u1,u2,.......,un
Et en fait tu demandes de prouver que :
Si p > n alors {v1,v2,........,vp} est LIEE .

Je ne vois rien du COURS qui puisse permettre de CONCLURE ....
Il manque vraisemblablement des hypothèses sur {u1,u2,.....,un}.

LHASSANE

ce que j'ai ecrit c'est vraiment un théorème dans le cours
et il est énoncé comme ça !!!

soit F_n = vect(u_1,...,u_n)
le théor revient à démontrer que si v_1,...,v_(n+1) sont dans F_n alors (v_1,...,v_(n+1)) est liée
par récurence sur n
pour n=1 F_1est alors une droite vecroriele ....
supposons la propriété vraie pour n de N* et montrons qu'elle est vraie pour n+1
soit alors v_1,...,v_(n+2) des éléments de F_(n+1)
si tous les v_i sont dans F_n ,alors d'aprés HR ils sont liées
si non quitte à les réindeccer on peux supposer que v_1 n'est pas dans F_n
alors pour tout i ...: v_i = w_i +µ_iu_(n+1)
avec w_i dans F_n µi dans IK
alors u_(n+1 = µ_(n+1)^-1(v_1 -u_1)
pour tout i de [|2,n+1|] soit f_i = w_i - µ_iµ_(n+1)^-1v_1
alors les f_i (n+1 vecteurs)sont dans F_n , alors HR ils sont liées
alors il existe x_2, ,x_(n+2) des scalairs non tous nul tels que
x_2f_2+....+x_(n+2)f_(n+2) = 0
c a d x_2v_2+....+x_(n+2)v_(n+2) +(_µ_(n+2)^-1(u_2+...+µ_(n+2))v1 =0 donc (v_1,....,v_(n+2)) est liée
rq on peut faire une demonstration on utilisant les systèmes linéaires : AX= B Amatrice X et B matrice unicolonne est équivalant à légalité vecroriele
x_1C_1(A) +...+x_pC_p(A) =B

merci Mr aissa pour votre explication

BSR à Toutes et Tous !!
BSR Lahcen et Mr AISSA !!

@ Lahcen : ton exercice est quelque peu déroutant .....
@ Mr AISSA : en Prépas , on dispose de Théorèmes de Cours , par conséquent il ne faut pas réinventer la roue ....

Maintenant pour faire court et simple !!
Soit k le RANG de la famille F={u1,u2,......,un} des n vecteurs de IR^d alors ON SAIT QUE 0<=k<=Inf{n;d} et que k est la dimension de H=<u1,u2,........,un> s.e.v de IR^d engendré par F.

Si les p vecteurs de IR^d v1,v2, .......,vp sont dans H alors ON SAIT QUE : si p>k alors ils sont LIES !!!

Tout celà est dans le COURS de Sup ( Algèbre Linéaire ) .......

Dans ton Exo , on a supposé p>n et bien sûr ssa marche aussi puisque n>=Inf{n;d}>=k .

Il faut retenir ICI qu'il suffit que p>k pour avoir le résultat !! C'est pour celà que j'ai dit que l'Exo est déroutant .....

Portez-Vous Bien !!!! LHASSANE