EXO en fonction

Déterminer toutes les fonctions f de R dans R satisfaisant les deux conditions
1) quel que soit le réel x ; on a f(x)=<x
2) quels que soient les réels x et y, on a .f(x+y)=<f(x)+f(y)
bon chance

bjr ^^

on a : f(x)=<x
f(0) =<0 ... 1

et : f(x+y)=<f(x)+f(y)
donc f(0+y) =<f(0)+f(y)
alr : f(y) =<f(0)+f(y)
0=<f(0)....2
d'apré 1 et 2 on aura : 0=<f(0)=<0

donc f(0)=0

on remplace encor une fois dans la deuxiéme donnée on aura
f(x+y)=f(x)+f(y)
et f(x)=<x
donc f(x) - a= x

et puisque f(0)=0 donc a = 0 et f(x) = x
sauf erreur bien sûr ^^

bonjour tout simplement

P(x;y) : f(x+y) =< f(x) + f(y)

P(x;-x) : f(0) =< f(x) + f(-x) ==> f(x) >= f(0) - f(-x) (d ça on a x=0 => f(0)>=0 et f(0)=<0 ==> f(0)=0)

d'une autre part f(-x) =< -x ==> x =< -f(-x)

donc f(x)>= x ==> 0 =< f(x)-x =< 0 ==> f(x)=x c'est la seule qui est dérivable en 0 !!!

car il y'a des autre comme:

f(x) = a ; x>= a avec a >= 0
f(x) = x ; 0 < x <a
f(x) = x/2 ; x=< 0

autre soit n€N*

f(x) =-x/n ; x>=0
f(x) = nx ; x < 0
etc
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d'une autre maniere on peut trouver l'infinité des fonctions !!