Problème de Novembre 2006

Soit f :[0,1] -->[0,+00[ une fonction telle que f^(-1)(]a,+00[) est fini pour tout a>0.
1) Montrer que f admet des zéros sur tout intervalle ouvert non vide de [0,1].
2) Montrer que f est continue en tout point x de [0,1] tel que f(x)=0.

Salut,
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Solution postée.

Voici la solution d'ephemere

1) Soit W un intervalle ouvert non vide de [0,1]. W est évidemment de cardinal non dénombrable.
Or, l'ensemble f^{-1}(]0,+00[)=f^{-1}(U_{n entier >0}]1/n,+00[)=U_{n entier >0}f^{-1}(]1/n;+00[) est dénombrable car toute union dénombrable d'ensembles finis est dénombrable.
Donc, un nombre non dénombrable d'élements x de W sont forcément tels que f(x) appartient à [0,+00[\]0,+00[={0}, c'est-à-dire tels que f(x)=0.

2) Soit x un point tel que f(x)=0. Pour montrer que la fonction f est continue en x, il suffit de prouver que pour tout E>0, il existe D>0 tel que tout point y de [0,1] appartenant aussi à l'intervalle ]x-D,x+D[ vérifie |f(y)-f(x)|<E, c'est-à-dire |f(y)|<E. Fixons donc E>0. Considérons l'ensemble f^{-1}([E,+00[). C'est ensemble est évidemment fini. Cela signifie que cet ensemble est fermé dans l'ensemble des réels euclidiens. L'ensemble {x} est compact. La distance entre un ensemble compact et un ensemble fermé est toujours réalisée dans l'ensemble des réels euclidiens. Soit D cette distance. Il est clair que D>0 car, comme f(x)=0, le nombre x n'appartient pas au fermé considéré. D ainsi défini convient donc pour vérifier que f est continu en x car si la distance euclidienne entre x et y est strictement inférieure à D, alors f(y) n'est pas dans [E,+00[ et est donc dans son complémentaire [0,E[.

salut tout le monde
solution postée

Voici la solution de aissa
1- I=[0,1] soit Io un intervalle ouvert non vide de I .
pour tout n de IN* on note An={x élé de Io/ f(x) >1/n} , on a An est fini.
soit A=U An la réunion des An n décrit IN* on a A C Io et A au plus dénombrable
alors Io - A contient une infinité d'éléments de Io .
on a alors pour tout x de Io-A et pour tout n de IN* : 0=< f(x)=<1/n ie f(x)=0 (car si non il existerai un n ; f(x)> 1/n ie x élé de A absurde). donc f admet des zéros sur tout intervalle ouvert non vide de [0,1]. CQFD.
2- soit c élélent de I; fc)=0 supposons que f n'est pas continue en c alors il existe a>0 pour tout n de IN*
il existe x_n dans ]c-1/n, c+1/n[ int I ; f(x_n)>a alors on peut construire une suite ( x_n)d'éléments de I deux à deux distincts tel que: f(x_n)>a pour tout n de IN* ; alors {x_n / n élé de IN*} C f^-1(]a,+00[) absurde car f^-1 ( ]a,+00[ ) est fini.
donc f est continue en c.