Preuve topologique du Th. de Cayley Hamilton

Bonsoir,
Soient P,Q deux polynomes à coefficients dans un corps k avec deg(P)=p
et deg(Q)=q.
Soit f : k_{p-1}[X] x k_{q-1}[X] ------> k_{p+q-1}[X] définie par :
f(U,V)=UQ+VP.
1) Montrer que f est un isomorphisme ssi P et Q sont premiers
entre eux dans k[X].
2) Déterminer la matrice de f dans la base
{(1;0),..,(X^{p-1},0),(0;1),..,(0,X^{q-1})}.
3) Considérons E=k_{n}[X] (avec k=IR ou C muni d'une norme quelconque. Montrer que si P et Q sont deux polynomes premiers entre eux dans k[X], alors il existe un voisinage V_{P} de P et un voisinage
V_Q de Q tel que pour tout (R,S) dans V_{P}xV_{Q}, R et S sont encore
premiers entre eux dans k[X].
4) Soit n un entier positif. Montrer que l'ensemble des polynomes scindés à racines simples est dense dans C_n[X].$ En déduire le théorème de Cayley-Hamilton.

AA+

18 preuves du théorème de Cayley-Hamilton :
http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/HaCa.pdf .

Ce n'est pas ce qui est demandé

Je sais, mais comme ce topic n'avait reçu aucune réponse, pour le remettre au goût du jour, j'ai décidé de mettre ce lien qui est en rapport.

abdelbaki.attioui a écrit:

1) Montrer que f est un isomorphisme ssi P et Q sont premiers
entre eux dans k[X].

Clair.

abdelbaki.attioui a écrit:

2) Déterminer la matrice de f dans la base
{(1;0),..,(X^{p-1},0),(0;1),..,(0,X^{q-1})}.

C'est la matrice dont le déterminant est appelé le résultant de P et Q.
Donc on a une autre preuve du résultant.

abdelbaki.attioui a écrit:

3) Considérons E=k_{n}[X] (avec k=IR ou C muni d'une norme quelconque. Montrer que si P et Q sont deux polynomes premiers entre eux dans k[X], alors il existe un voisinage V_{P} de P et un voisinage
V_Q de Q tel que pour tout (R,S) dans V_{P}xV_{Q}, R et S sont encore
premiers entre eux dans k[X].

Ah, ça.
Ok je vois de quoi tu parles; ce n'est pas vraiment une preuve topologique.
C'est simplement l'idée que l'on peut sans perte de généralité supposer que les valeurs propres sont distinctes.

Sorte de séparation des polynômes premiers entre eux.

Yep.

On parle de voisinages dans K[X]. De quelle topologie il s'agit?

Zariski.
Ou, que veux-tu dire?
En fait, j'ai supposé que l'on traitait seulement de K=C.

Oui pour Zariski si K corps qcq.
Mais si K=IR ou C, il suffit de prendre une norme