Problème de décembre 2009

Soit A€ M_n(IR) ( matrice carrée d'ordre n>0 à coefficients réels) vérifiant :



Montrer que A=0

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Solution postée

Bonjour
Soit r le rang de A , il existe P , Q inversible telque: A=PJrQ
Vu que X-> PXQ est bijective on modifie l'enoncé ainsi:
Qq soit X de Mn(R): det(Jr+X)=det(X)
si r!=O , alors on prend X=In-Jr !! absurde ! (1=O !! )
alors r=0 et A=O!

solution faite

Solution non trouvée

solution postée

...

Solution postée

bn voici une autre solution.
on a pour X=-xI_n tel que x£R ,P_A=(-X)^n =>A nilpotente (Cayley-Hamilton).
on considere B=A^(1/n)=sum(k=0,+00)a_k(A-I_n)^k (a_k EST BIEN CONNU).
on a B est nilpotente aussi. donc P_B=(-X)^n donc d'apres C-H on a B^n=0=A.