somme tres dificille nombres complexes

on met z=expononciel de i pi/11
calculer z^11
et calculer Z =z+z^3+z^5+z^7+z^9 et deduire la partie reel de Z

voilà une sollution que je te proposes :

écris z sous la forme : z=[1 ; pi/11]

après pour z^11 tu as : z^11 = [1 ; pi/11]^11 et après continue tu trouveras [ 1 , pi ] à la fin qui est -1


pour Z on a : Z = z+z^3+z^5+z^7+z^9
= z(1 + z^2 + z^4 + z^6 + z^8 )

et puis on a : z = exponaciel i(pi/11) ( j'écrirai comme ca ei(pi/11) ok )

donc : Z = ei(pi/11) ( 1 + ( ei(pi / 11) ) ^2 + ( ei(pi / 11) )^4 + ( ei(pi / 11) )^6 + ( ei(pi / 11) )^8 )
= ei(pi/11) ( 1 + ( ei(2pi / 11) ) + ( ei(2pi / 11) )^2 + ( ei(2pi / 11) )^3 + ( ei(2pi / 11) )^4 )

on remarque la presence d'une identité remarquable :1^5 - ( ei(2pi/11) ) ^5 :
= ei(pi/11) * (1- ( ei(pi/11) ) ^5 )/(1- ei(2pi/11) )
= (ei(pi/11) + 1 ) / ( 1 - ei(2pi/11) )

et on a pour tout x de IR :

1 + eix = ei(x/2) * ei(-x/2) + (ei(x/2) )^2
= ei(x/2) ( ei(x/2) + ei(-x/2) )
= ei(x/2) *2* ( ei(x/2) + ei(-x/2) ) / 2
= ei(x/2) *2 * cos (x/2)
= 2*ei(x/2) cos (x/2)

et on a aussi :

1 - eix = -2i *sin(x/2) * ei(x/2) (pas la peine de prouver fais comme le premier utilise la forme de euler le post sera très grand )

appliquons sur (ei(pi/11) + 1 ) / ( 1 - ei(2pi/11) ) on a :
(ei(2pi/11) + 1 ) / ( 1 - ei(2pi/11) ) = [( 2*cos (ei(pi/22) ) * ei(pi/22) )] / [( -2i*sin(ei(pi/22)) * ei(pi/22) )]
= ( i e(-i pi/22) ) / 2sin(pi/22)
alors : Re ( Z ) = Re ( ( i e(-i pi/22) ) / 2sin(pi/22)
)
= Re ( (sin (pi/22)) /2(sin (pi/22)) + i ( (cos (pi/22)) /2sin(pi/22) ) )
= (sin (pi/22)) /2(sin (pi/22)) = 1/2

donc partie réélle de Z est Re ( Z ) =1/2

z^11= - 1.
z²*Z = Z-z-1
alors Z= 1/(1-z)
1-e^ipi/11=e^ipi/22(-2i *sin(pi/22) ).
bon courage
aissa

Citation :

z²*Z = Z-z-1
alors Z= 1/(1-z)

et

Citation :

1-e^ipi/11=e^ipi/22(-2i *sin(pi/22) )

détailler le 1 er et prouver le 2 ème c'est pas necessaire ?

aissa a écrit:

z^11= - 1.
z²*Z = Z-z-1
alors Z= 1/(1-z)
1-e^ipi/11=e^ipi/22(-2i *sin(pi/22) ).
bon courage
aissa

Trés bien aissa
Re(Z)= (1-Re(z))/|1-z|²

metci tous