fonctional equation(Own).

une facile e.f de ma création lol :

trouver tt f:IR-->IR tel que:

f(2x-f(y))=2f(x)-y

Donnez vos belles solutions^^

f(x) est évidemment bijective et il existe u tel que f(u)=0

On a alors f(2x)=2f(x)-u

En posant y=2f(x) on a aussi f(2x-f(2f(x)))=0=f(u) et comme f est bijective :

f(2f(x))=2x-u

Mais d'après "f(2x)=2f(x)-u", on a f(2f(x))=2f(f(x))-u et donc f(f(x))=x

En revenant dans f(2x-f(y))=2f(x)-y, on trouve alors f(2x-f(y))=f(2x)+u-y
En prenant alors y=f(z), il vient f(2x-z)=f(2x)+u-f(z)

et donc f(x+y)=f(x)+f(y)-u.
En reportant dans l'équation initiale, on a u=0

Et donc les solutions :
f(x) est n'importe quelle solution involutive de l'équation de Cauchy (soit une infinité)

Si on se limite aux solutions continues (non demandé), f(x)=x et f(x)=-x

bravo perleman je vous félicite d'avoir creer une e.f perso ....
voilà ma solution
on a f(2x-f(y))=2f(x)-y=2f(x)-y
pour x=f(y) on a f(2f(y)-f(y))=2f(f(y))-y
<==> fof(y) = y (/*\)
donc on remarque qu'il y a une identité ==> f(x)=x

merci yugayoub!

mais ton passage de fof(y)=y ==> f(y)=y est faux!

car c pas juste l'identité qui réalise cela,il faut des demos....

ok dsl ..... j vais essayer de trouvé une autre demo...

juste une remarque,si tu veux déduire les f de fof(x)=x tu peut penser aux itérees....

Je ne comprends pas bien.

Ma solution est-elle incorrecte ?

nn c correcte sauf que lui a fait une autre démarche^^

Ah merci.

Mais je pense qu'il ne faut pas inciter à résoudre f(f(x))=x car il y a des infinités de solutions à cette équation et il est difficile, d'après la solution générale de f(f(x))=x, d'en tirer le sous-ensemble respectant l'équation de Cauchy.

A mon humble avis, ...

bon je pense que ca devient un peu facile si on fait appelle aux suites......on considere une suite (x_n) tel que:

x_0=x et x_(n+1)=f(x_n).... nn?

Vous ne pouvez arriver à rien par cette méthode pour résoudre f(f(x))=x

de f(f(x))=x ==> puisque x²=1 ==> x_n=(1)^n(A_x)+(-1)^n(B_x)

==>f(x)=A_x-B_x et x=A_x+B_x. et on utilise les données.....

ca peut conduire à la solution...

Non.

De manière générale, l'utilisation des suites n'a de réel intérêt que si l'on possède une condition de continuité, ce qui n'est as le cas ici.

Il sera impossible de trouver les solutions involutives de l'équation de Cauchy par cette méthode.

Mais je veux bien changer d'avis si vous faites la démonstration jusqu'au bout.

oui ca me parait aussi maintenant ..

Merci de votre remarque