Groupe commutatif (3)

Si dans un groupe G les puissances-m commutent (entre eux) et les puissances-n commutent (entre eux) avec (m,n)=1. Montrer que G est commutatif.

C'est un joli petit problème (mais assez facile).

Vu que (m, n) = 1, l'ami Etienne (Bézout) nous dit qu'il existe a, b € Z tels que am+bn = 1.
Lemme : pour tous x, y € G, x^m y^n = y^n x^m.
Preuve : laissée au soin du lecteur.
Alors on a : xy = x^{am+bn} y^{am+bn} = x^{am} x^{bn} y^{am} y^{bn} = y^{am+bn} x^{am+bn} = yx, cqfd.