abdelbaki.attioui
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 | | Sujet: Groupe commutatif (3) Ven 03 Nov 2006, 12:08 | |
| Si dans un groupe G les puissances-m commutent (entre eux) et les puissances-n commutent (entre eux) avec (m,n)=1. Montrer que G est commutatif. | |
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mathman
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| | Sujet: Re: Groupe commutatif (3) Sam 23 Déc 2006, 13:42 | |
| C'est un joli petit problème (mais assez facile). Vu que (m, n) = 1, l'ami Etienne (Bézout) nous dit qu'il existe a, b € Z tels que am+bn = 1. Lemme : pour tous x, y € G, x^m y^n = y^n x^m. Preuve : laissée au soin du lecteur.  Alors on a : xy = x^{am+bn} y^{am+bn} = x^{am} x^{bn} y^{am} y^{bn} = y^{am+bn} x^{am+bn} = yx, cqfd. | |
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