Equation fonctionnelle.

trouver tt f:IN*--->IN* tel que:

pour tt (m,n)£IN*xIN* on a:

f(m²+n²)=(f(m))²+(f(n))²

Bonne chance!.

Perelman a écrit:

trouver tt f:IN*--->IN* tel que:

pour tt (m,n)£IN*xIN* on a:

f(m²+n²)=(f(m))²+(f(n))²

Bonne chance!.

Bonjour,
Pourriez-vous nous donner un truc pour avancer dans ce problème, s'il vous plaît Perelman ?

Classiquement, on a envie d'utiliser des identités remarquables du genre :
(2n-1)^2+(n-3)^2=(2n-3)^2+(n+1)^2
(2n)^2+(n-5)^2=(2n-4)^2+(n+3)^2

Qui permettent de déterminer f pour tout n si on connait f pour 1 à 6

Déterminer f(n) pour n de 1 à 6 est élémentaire si f est définie de N dans N et si l'équation est vraie pour tout n de N, donc en particulier pour n=0.

La vraie difficulté de ce problème est donc la restriction à N*, et donc l'interdiction d'utiliser m=0 ou n=0 dans ce problème.

Et j'avoue, là, avoir beaucoup de mal à déterminer les premières valeurs (j'ai fait des essais jusqu'à plus de 300)

Merci de l'indication que vous voudrez bien nous donner pour avancer ...

nemo a écrit:

Perelman a écrit:

trouver tt f:IN*--->IN* tel que:

pour tt (m,n)£IN*xIN* on a:

f(m²+n²)=(f(m))²+(f(n))²

Bonne chance!.

Bonjour,
Pourriez-vous nous donner un truc pour avancer dans ce problème, s'il vous plaît Perelman ?

Classiquement, on a envie d'utiliser des identités remarquables du genre :
(2n-1)^2+(n-3)^2=(2n-3)^2+(n+1)^2
(2n)^2+(n-5)^2=(2n-4)^2+(n+3)^2

Qui permettent de déterminer f pour tout n si on connait f pour 1 à 6

Déterminer f(n) pour n de 1 à 6 est élémentaire si f est définie de N dans N et si l'équation est vraie pour tout n de N, donc en particulier pour n=0.

La vraie difficulté de ce problème est donc la restriction à N*, et donc l'interdiction d'utiliser m=0 ou n=0 dans ce problème.

Et j'avoue, là, avoir beaucoup de mal à déterminer les premières valeurs (j'ai fait des essais jusqu'à plus de 300)

Merci de l'indication que vous voudrez bien nous donner pour avancer ...

slt! Mr.nemo et merci pour votre intérêt au problème

en ce qui concerne l'e.f moi aussi j'ai pas trouvé grand chose c pouquoi je l'ai posté ici et comme vous avez dit la limitation des données ont crée bcp de pb!.

bon je cherche encore si je trouve qq je n'hésite pas!.

Merci encore.

Aaah OK.

Merci pour cette réponse.
Je continue à chercher et reviendrai donner ce que je trouve (si je trouve quelquechose )

oui également

f(1)=a
f(2)=f(1^2+1^2)=f(1)^2+f(1)^2=2a^2
f(5)=f(2^2+1^2)=f(2)^2+f(1)^2=4a^4+a^2

Calcul de f(7) :
f(50)=f(7^2+1^2)
f(50)=f(5^2+5^2)
et donc f(7)^2+a^2=2(4a^4+a^2)^2
et f(7)=racine(2(4a^4+a^2)^2-a^2)

f(8 )=f(2^2+2^2)=f(2)^2+f(2)^2=8a^4

f(10)=f(3^2+1^2)=f(3)^2+a^2

f(13)=f(3^2+2^2)=f(3)^2+4a^4

Calcul de f(3) :
f(125)=f(10^2+5^2)=f(10)^2+f(5)^2
f(125)=f(11^2+2^2)=f(11)^2+f(2)^2
et donc f(11)^2+4a^4=(f(3)^2+a^2)^2+(4a^4+a^2)^2
soit f(11)^2=(f(3)^2+a^2)^2+(4a^4+a^2)^2-4a^4


f(170)=f(11^2+7^2)
f(170)=f(13^2+1^2)
et donc f(11)^2+2(4a^4+a^2)^2-a^2=(f(3)^2+4a^4)^2+a^2
soit f(11)^2=(f(3)^2+4a^4)^2+2a^2-2(4a^4+a^2)^2

En comparant l'équation f(125) et l'équation f(170), on tire :
(f(3)^2+a^2)^2+(4a^4+a^2)^2-4a^4=(f(3)^2+4a^4)^2+2a^2-2(4a^4+a^2)^2
(f(3)^2+a^2)^2=(f(3)^2+4a^4)^2+4a^4+2a^2-3(4a^4+a^2)^2
(4a^2-1)f(3)^2=16a^6+12a^4-1
f(3)=2a^2+1

Synthèse à ce moment :

f(1)=a
f(2)=2a^2
f(3)=2a^2+1
f(5)=4a^4+a^2
f(7)=racine(2(4a^4+a^2)^2-a^2)
f(8 )=8a^4
f(10)=4a^4+5a^2+1
f(13)=12a^2+1


f(65)=f(7^2+4^2)
f(65)=f(8^2+1^2)
et donc f(8 )^2+f(1)^2=f(7)^2+f(4)^2
Soit 64a^8+a^2=2(4a^4+a^2)^2-a^2+f(4)^2
Donc f(4)^2=64a^8+a^2-2(4a^4+a^2)^2+a^2
f(4)=racine(32a^8-16a^6-2a^4+2a^2)


f(185)=f(11^2+8^2)
f(185)=f(13^2+4^2)
et donc f(11)^2+f(8 )^2=f(13)^2+f(4)^2
f(11)=racine(-32a^8-16a^6+142a^4+26a^2+1)

f(130)=f(9^2+7^2)
f(130)=f(11^2+3^2)
et donc f(9)^2+f(7)^2=f(11)^2+f(3)^2
Soit f(9)^2=-32a^8-16a^6+142a^4+26a^2+1+(2a^2+1)^2-2(4a^4+a^2)^2+a^2
f(9)=racine(-64a^8-32a^6+144a^4+31a^2+2)

f(85)=f(6^2+7^2)
f(85)=f(9^2+2^2)
et donc f(6)^2+f(7)^2=f(9)^2+f(2)^2
f(6)=racine(-96a^8-48a^6+146a^4+32a^2+2)

f(200)=f(10^2+10^2)
f(200)=f(14^2+2^2)
et donc f(14)^2+f(2)^2=2f(10)^2
f(14)=racine(2(4a^4+5a^2+1)^2-4a^4)

Et enfin, l'équation !!!!!!!
--------------------------
f(205)=f(13^2+6^2)
f(205)=f(14^2+3^2)
et donc f(13)^2+f(6)^2=f(14)^2+f(3)^2
(12a^2+1)^2-96a^8-48a^6+146a^4+32a^2+2=2(4a^4+5a^2+1)^2-4a^4+(2a^2+1)^2
144a^4+24a^2+1-96a^8-48a^6+146a^4+32a^2+2=32a^8+50a^4+2+80a^6+16a^4+20a^2-4a^4+4a^4+4a^2+1
128a^8+128a^6-220a^4-36a^2=0
32a^6+32a^4-55a^2-9=0
(a^2-1)(32a^4+64a^2+9)=0
Et donc, enfin a=1, seule racine entière positive de cette équation

Cela nous donne f(n)=n pour n dans {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14\}

Maintenant, on peut utiliser les identités :
(2n-1)^2+(n-3)^2=(2n-3)^2+(n+1)^2
(2n)^2+(n-5)^2=(2n-4)^2+(n+3)^2

Qui permettent de déterminer f pour tout n si on connait f pour 1 à 6

Et donc f(n)=n pour tout n

Mais je pense que le professeur qui a posé cet exercice en préparation d'olympiade est un peu dérangé ... .