exo very difecult !!!!! uuuurgent

on a : a et b appartient a lN / a>b demontre que ; ( a^2 + b^2 ) / ( a^2 - b^2 ) n'appartien pas a lN

on a : a et b appartient a lN / a>b demontre que ; ( a^2 + b^2 ) / ( a^2 - b^2 ) n'appartien pas a lN

on suppose que on a : ( a^2 + b^2 ) / ( a^2 - b^2 ) n appartien a lN
alors (a²+b²)/(a²-b²) appatiens à N alors
(a²+b²)/(a²-b²)=K (k appartient à N)
a²+b²= ka²-kb²
a²(1-k)=-b²(k+1)
a²(k-1)=b²(k+1)
on c que a>b alors a²> b²
et k-1< k+1

je pense que c clair mnt

slt
on peut supposer (a² + b²)/(a²- b²) appartient a lN puis conclure une contradiction.
donc ( a^2 + b^2 ) / ( a^2 - b^2 )=p (p entier na)
==>a²+b²=a²p-b²p ==> a²(p-1)=b²(1+p) **
** ==> a et b ont la meme parité (car p-1 et p+1 ont la meme parite)
cas 1)) posons a=2a' et b=2b' et a>a' et b>b'
on aurait de meme
( a'² + b'² ) / ( a'² - b'² )=p de meme existe a" et b" telque a'=2a" et b'=2b" et a>a'>a" et b>b'>b" ansi de suite on trouvrez une infinité
d entier a_n <a et b_n <b verifiant ** (a_n = a indice n ) contradiction puisque N est minorée par 0
de meme on etablit la contrdiction si a et impair
(descente infinie) est ce que ma demo est juste.

si b = 0 c possible
supposons que b#0 :
soit d=pcgd(a,b) on pose a=dx et b=dy avec xet y premiers entre eux
on pose n=(a²+b²)/(a²-b²)=(x²+y²)/(x²-y²)
en simplifiant on trouve que (n-1)x²=(n+1)y²
on sait que pgcd(n+1,n-1)=1 ou 2

1er cas : pgcd(n+1,n-1)=1
alors x²=n+1 et y²=n-1 d ou x²-y²=2
donc (x+y)(x-y)=2 ce qui implique que x+y=2 et x-y=1 absurde (x=3/2 et y=1/2)

2eme cas : pgcd(n+1,n-1)=2
donc ((n-1/2))x²=((n+1)/2)y²
ce qui implique que n-1/2=y² et n+1/2=x²
d ou n-1=2y² et n+1=2x²
dou 2(x²-y²)=2 -->x²-y²=1 --> x=1 et y=0 impossible

ya une seule solution : b=0

pour selfrespect: t a bien commencé mais t a pas traité le 2eme cas

ya pa de descente infinie dans la cas de a impair !