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Soit a,b,c>0 tel que ab+bc+ca=1 Montrez que :

bonjour....
t'es sur....en effet:
l'inégalité est équivalente à :
(ab+1)(bc+1)(ca+1)+8(abc)⁴≥8abc(a+b+c).a²b²c²
en posant ab=x ,bc=y et ac=z ça devient:
(x+1)(y+1)(z+1)+8x²y²z²≥8(xy+yz+zx)xyz avec x+y+z=1
<=>2+xy+yz+zx+xyz+8x²y²z²≥8(xy+yz+zx)xyz
or on a 1>xy+yz+zx<=>8xyz>8(xy+yz+zx)xyz
donc il suffit de démontrer que:
2+xy+yz+zx+xyz+8x²y²z²≥8xyz
ce qui est juste puisque 2+8x²y²z²≥8xyz
sinon....j'ai du commettre des erreurs.....

On a par AM-GM :

(1/c+1/abc)(1/a+1/abc)(1/b+1/abc) + 8abc ≥ 8/a²b²c²+8abc

donc il suffit de prouver que :

1/a²b²c²+abc ≥ a+b+c

d'autre part on a :

(ab+bc+ac)²≥3abc(a+b+c)

d'où : (a+b+c)<= 1/3abc

et par am-gm on a : (ab+bc+ac)²≥ 9abc

d'où 1/abc≥9

donc : 1/a²b²c²+abc-1/3abc = 1/abc(1/abc-1/3) + abc ≥ 0

ce qui est juste puiske 1/abc≥9
d'où la conclusion

Désoléééé Majdouline et samix pour mon erreur!! et merci pour vos solutions L'inégalité doit etre :




avec les memes conditions

l'inégalité est équivalente à:
(ab+1)(ac+1)(bc+1)+8a²b²c²≥8abc(a+b+c)
en posant ab=x ,bc=y et ac=z ça devient:
(x+1)(y+1)(z+1)+8xyz≥8(xy+yz+zx) avec x+y+z=1
<=>2+9xyz≥7(xy+yz+zx)
or d'apres Schur on a :
1+9xyz≥4(xy+yz+zx) (1)
et on a (x+y+z)²≥3(xy+yz+zx)<=>1≥3(xy+yz+zx) (2)
en sommant (1) et (2) on trouve l'inégalité voulue...
sauf erreur....

oui bien !! ma solution est la suivante :



ce qui equivaut à


Multipliyant cycliquement on auura



Le resultat découle apré facilement