MPSI3 Contrôle n° 1 09/10
Exercice1 :
1)donner les solutions y : RàR des équations différentielles suivantes
a) (L1) : 2 y“ +5y’- 3y = 6.
b) (L2) :y“ + 6y’+9y =8 ex
c) (L3) : y“ + 4y’+ 5y = cos(x)
d)Combien y a –il de solutions de (L3) vérifiant la condition
Y(o) = 2009 et y’(o) = 2010 ? Justifier la réponse par un
théorème
Exercice2 : a)donner les solutions sur ]o,+OO[ de l’équation différentielle
(L) : (ex – 1)y’ + exy =cos(x)
b)soit f la solution de (L) telle que : f(ı) = O
justifier que : f(x) = ııı(ı)
ıııı
c)montrer que f est prolongeable par continuité en o à droite ;on note par
f ce prolongement
d)donner le DL2(o) de f .
e)En déduire que f est dérivable en o et donner f’(o) et interpréter le
résultat graphiquement
Exercice3 :
a)donner le développement limité de x à cos(x) en o à l’ordre 6 et de
xàln(1+x) à l’ordre 4.
b) en déduire le développement limité de : xà ln(cos(x)) en o à l’ordre 7
c)en déduire le développement limité de Xàtan(x) en o à l’ordre 5
Exercice4 :
Résoudre sur R l’équation différentielle : y’ = |y|.
Bon courage
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