Familles de fonctions

salam

je propose :

Trouver les fonctions réelles continues sur IR admettant pour périodes 1 et sqrt(2)



@+

Bonsoir ;

Soit T = { t£IR / pour tout réel x , f(x+t) = f(x) }

il est facile de voir que T est un sous-groupe de ( IR , + ) il est donc soit discret (ie de la forme aZ ) soit dense dans IR

T ne peut être discret vu qu'il contient le groupe Z+V2Z qui lui n'est pas discret ( facile à montrer)

on conclut donc que T est une partie dense de IR et ainsi tout réel x est limite d'une certaine suite (tn) d'éléments de T

et par continuité de f on a f(x) = lim f(tn) = f(0) ie f est constante sauf erreur bien entendu

Salam o alikom

Je propose une autre solution !

Soit f une application admettant 1 et sqrt2 comme periode

pour tout entier n il existe des entiers an et bn tq (sqrt2 -1)^n=an +bn*sqrt2

Donc pn=(sqrt2 -1)^n est une periode de f
soit x un reel et dn l'unique entier tq dn*pn<=x<=(pn+1)*dn
pour tout entier f(dn*pn)=f(0)
d'autre part |x-dn*pn|<pn donc lim pndn=x
comme f est continue alors f(x)= lim f(pn*dn)=f(0)
on voit bien que f est constante reciproquement ces applicaton sont bien solution