- Oumaima Mkireb a écrit:
- Salut:
Montrez que (x à la puissance de n -1)(x à la puissance de n+1 -1) est divisible par (x-1)(x²-1)
Sachant que : n £ N*
NJR Mademoiselle !
On pose pour commodité d'écritures ..... Pk(x)=x^k - 1 si k est dans IN*
Ton problème revient à montrer que Pn(x).Pn+1(x) est DIVIBLE par
(x-1).(x^2-1) pour tout entier n dans IN*.
Tu remarqueras d'abord que n et (n+1) sont de PARITES OPPOSEES .
Et on utilisera l'IDENTITE :
Pn(x)=(x-1).{x^(n-1) + x^(n-2) + ........ +x+1}
Supposons que n est PAIR n=2k avec k dans IN*
Pn(x)=P2k(x)=(x^(2k) - 1=Pk(x^2)
=(x^2-1).{x^(2k-1) + x^(2k-2) + .....+ x^2+1}
De plus Pn+1)(x)=(x-1).{x^(2k) + x^((2k-1) + ..... + x+1}
et donc au final :
Pn(x).Pn+1(x)=(x^2-1).(x-1).......
Même Démo lorsque n est IMPAIR ......
Bonne Chance !
LHASSANE
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