Inégalité et équation fonctionnelle

Soit une fonction $f$ telle que $f(x+\frac{1}{x^2})=f(x)+f(\frac{1}{x})^2$ avec $f(1)=1$.

Montrer que s'il existe $x>1$, tel que $f(x)=y \geq 2$ alors il existe un $z$ tel que $f(z) \geq y+1$.

Ce que j'ai déjà trouvé:

J'ai calculé $f(2)=f(1)+f(1)=2$. J'ai pensé prendre $z=x+\frac{1}{x^2}$ et dans ce cas j'obtiens $f(z)=f(x)+ f(\frac{1}{x})^2$.

Ensuite je me suis dit si je prouve que $f(\frac{1}{x})^2 \geq 1$, le tour est joué.
J'ai alors calculé $f(\frac{1}{x}+x^2)=f(\frac{1}{x})+f(x)^2$. Mais là, je tourne en rond. Si quelqu'un a une idée, elle est la bienvenue. Merci d'avance.

En Latex visible :

Bonsoir ;

Pour quelles valeurs de x la relation f(x + 1/x²) = f(x) + f(1/x)² est -elle vérifiée ?

Bonjour à tous. A priori la fonction est définie en 1 puisque f(1) existe. Ensuite on suppose qu'une telle fonction existe (sauf en 0 vu la présence de 1/x), et on demande de démontrer certaines choses. Grâce à la relation j'ai montré que f(2)=2 et une deuxième relation. Mais arrivé là je coince!

Je pense avoir résolu le problème.

Supposons que pour tout z réel, z < y + 1.
f( 1/x)²= f(x + 1/x²) − f(x) < y + 1 − y = 1, d’où f( 1/x ) > −1.
Par suite, f(x)² = f( 1/x + x²) − f( 1/x ) < y + 1 + 1 = y + 2.
Or y² − y − 2 = (y − 2)(y + 1) n’est strictement négatif que pour y appartenant à ] − 1; 2[ en contradiction avec le fait que y > ou égal à 2.

Citation :

Supposons que pour tout z réel, f(z) < y + 1.

Je crois que c'est bon ! Bien que je ne vois pas l'utilité de l'hypothèse x>1 !!!