Equation fonctionnelle

Salam

Determiner les applications continues f de R dans R verifant
l'equation fonctionnelle : f(sqrt(x²+y²)=f(x)f(y)

puis Determiner les applications continues f de R dans R verifant
l'equation fonctionnelle : f(sqrt(x²+y²+xy)=f(x)f(y)

A+

soit

si f#0 il est clair que f(0)=1 et que f est pair et positif sur R.

on a :




en combinant les trois assertions on a :



soit n un entier strictement positif.
supposons que pour tt k=<n et pour tout x de R on a :


on a donc :



donc pour x=1 il viend avec a=f(1)

par pairité on a le resultat sur Z*

soit r=p/q un rationel non nul.

on f(qr)=f(p)=f(r)^q² d'ou f(r)=a^r²

et par continuité on a a=1 et f(x)=1 pr tt x de R.

Synthése : f=0 ou f(x)=1 pr tt x de R

Salam memath tu viens de donner une solution particuliere au probleme

la fonction x--> e^d*x²/2 est aussi solution avec d€IR

sauf erreur

A+

bonjour

pour la premiere E.F je pose Q(x;y) : f(V(x²+y²)) = f(x)f(y)

les solution evidentes

f=1 et f =0

les solutions non triviaux:
Q(-x;y): f(V(x²+y²)) = f(-x)f(y) = f(x)f(y) ==> f(-x)=f(x) car pr tt y dans IR d'où f est pair


Q(0;0) : f(0) = f(0)² ==> f(0)=0 ou f(0)=1

si f(0) = 0 donc : Q(x;0) : f(|x|) = 0 ce qui implique que f(x)= 0 pr tt x>= 0 puisque f est pair donc f(x) = 0 pr tt x£IR mais ce n'est pas notre cas alors f(0)=1

Q(x;x) : f(V2 |x| ) =(f(x))² donc f est positive pr tt x>0 puisque f est pair donc f est positive pr tt x dans IR plus que ça on peut dire que f est Strictement positive sur IR (facile à demontrer)

posons pr tt x dans IR+ : Q(Vx ; Vy) : f(V(x+y)) = f(Vx)f(Vy)

et g(x) = f(Vx) ce que veut dire que g(x+y) = g(x)g(y)

et d'aprés la continuité de f fortiori la continuité de g on peut facilement montrer que g(x) = (g(1))^x pr tt x>0
c'est à dire f(x) = (f(1))^x² pr tt x>0 la parité de f donne finalement que:

f(x) = a^x² / a>0

receproquement

f(V(x²+y²)) = a^(V(x²+y²))² = a^(x²+y²) = a^x² * a^y² = f(x)f(y)

donc conclusion:
les solutions continues sont:
-> f(x) = 1 pr tt x
->f(x) = 0 pr tt x
-> f(x) = a^x² / a>0

l'autre est facile

spiderccam a écrit:

Salam memath tu viens de donner une solution particuliere au probleme

la fonction x--> e^d*x²/2 est aussi solution avec d€IR

sauf erreur

A+

voir ma solution est plus generale !

x-->(e^d/2)^x² = a^x²

spiderccam a écrit:

Salam memath tu viens de donner une solution particuliere au probleme

la fonction x--> e^d*x²/2 est aussi solution avec d€IR

sauf erreur

A+

oui tu as raison j'ai commis l'erreur à la fin donc les solutions sont f(x)=e^{x²ln(a)} et f(x)=0.le reste de ma preuve reste correct , merci

bonsoir
il sagit de trouver toutes les solutions continues donc il faut utiliser les résultats tirés de la contiuitée
pour commencer on va trouver les propriétées des solutions :
je suppose que f est différente de la fonction nulle
f(sqr(x²+y²) = f(x)f(y) pour tout couple (x,y) de |R² alor
1) pour tout x de |R f(x) not = 0
2) f(0) = 1 car f(x) =f(sqr(x² + 0)) = f(x)f(0) d'ou f(0) = f(x)/f(x)=1 .
3) f(-x) = f(x) pour tout x donc f est paire
4) enfin la propriété la plus importantes :
pour tout r de Q (un entier rationnelle) alors :
f(r*x) = [f(x)]puissance ( r²)
preuve :
a) soit m un entier relatif alor :
f(mx)= f(sqr(m²x²))= f(sqr( x²+x²+x²+x²+.....+x² ))= f(x)*f(x)*f(x)*f(x)........*f(x) m² fois
d'ou f(mx) = [f(x)]puissance ( m²) .
b) n en entier relatif not = 0
f(x) = f(nx/n) = f( sqr( n²x²/n²)) = f(sqr( x²/n²+x²/n²+......x²/n²) = f(x/n)*f(x/n)........f(x/n)
donc f(x/n) = [f(x)] puissance 1/n² .
conclusion : pour tout r de Q on a f(r) = f(1) puissance r² .

soit donc (Rn) une suite de nombre rationnels alors :
pour tout n on a f(Rn)=f(1) puissance R²n et
puisque f est continue donc au passage a la limte on trouve :
lim f(Rn) = f(lim Rn) = f(1) puissance lim R²n
Rn converge vert un nomre reélle x ( Q est dense dans |R ) et donc : pour tout x : f(x) = f(1) puissance x².
résultat : toutes les solutions continues sont des fonction exponentielles .c'est a dire f(x) = a puissance k*x² avec k appartient a |R*

PS:La réciproque est verifiée!

hhh ma3rft malkom kat39do l2omor

c koi f(x) = a^bx² c'est de forme f(x) = (f(1))^x² = α^x² donc c fini

tjrs dans les solutions generales il faut apparaitre le moins des variables et dsl pr cette intervention

et autre chose ppour Omar f(|x|) = f(x) ==> f pair c faux

prend f(x) = Vx si x >=0 et f(x) = 0 si x<0 donc f(|x|) = f(x) et f continue mais n'est pas pair

wagshall a écrit:

hhh ma3rft malkom kat39do l2omor

c koi f(x) = a^bx² c'est de forme f(x) = (f(1))^x² = α^x² donc c fini

tjrs dans les solutions generales il faut apparaitre le moins des variables et dsl pr cette intervention

Salam !
La solution "générale " d'une équation fonctionnelle doit être le plus possible générale .
Par exemple dans cet exo la fonction x i--> α^b*x² est la plus générale . En écrivons α^b*x² =(a^b)^x² , on peut aboutir à une autre forme moins générale .Mais réciproquement x i--> α^b*x² est solution .

wagshall a écrit:

et autre chose ppour Omar f(|x|) = f(x) ==> f pair c faux
prend f(x) = Vx si x >=0 et f(x) = 0 si x<0 donc f(|x|) = f(x) et f continue mais n'est pas pair

Faux contre exemple ; 0=f(-1)=f(|-1|)=f(1)=1 donc 1=0

La relation que j'ai écris pour les fonctions paires est évidente mon ami !! reste à verifier que -x € D_f
Cordialement