TAF

Salam;

Soit f une fonction deux fois dérivable sur [a;a+2]

Montrer qu'il existe un b £ ]0;2[ tel que:

f(a)-2f(a+h)+f(a+2h) = h²f"(a+bh)

(ind : introduire : g(t)=f(a+t+h)-f(a+t) )



@+

Salam!

h appartient à quel intervalle ?

Réel quelconque !!

Salut ,

Je pense que h est plutôt dans [0,1]

Car f est deux fois dérivable sur [a,a+2] est pour que a+bh soit dans [a,a+2] sachant que b est dans ]0,2[ , h doit être dans [0,1] .


-Considérons la fonction g définie sur [0,h] par g(t)=f(a+t+h)-f(a+t)
g véeifie bien les condition du TAF , en appliquant ce dernier entre [0,h] on écrit : il existe c € ]0,h[ / f(a)-2f(a+h)+f(a+2h)=hg'(c)

Alors , f(a)-2f(a+h)+f(a+2h)=h(f'(a+c+h)-f'(a+c)))(*) "" c dépend de h ""

-on applique le TAF à la fonction f' entre a+c et a+c+h

il vient qu'il existe d]a+c,a+c+h[ / f'(a+c+h)-f'(a+c))=hf"(d)(**)

de (*) et (**) on déduit qu'il existe d]a+c,a+c+h[ / (a)-2f(a+h)+f(a+2h)=h²f''(d)

Il suffit de prendre b=(d-a)/h

tout simplement,il suffit d'utiliser taylor young! pourquoie casser la tête avec TAF :p