EQF

trouver toutes les fonctions dérivables , qui vérifient :
f'(x ) = f(px)

Pouvez vous définir f (espérons que ce soit de classe Cn )

codex00 a écrit:

Pouvez vous définir f (espérons que ce soit de classe Cn )

C^00 même !!

Bonjour ; problème intéressant !

Pour |p|=<1 , on peut montrer que toute solution est développable en série entière sur IR puis que toute solution est proportionnelle

à la fonction f : x ---> Sum[n=0..+oo] p^(n(n-1)/2)x^n/n! sauf erreur bien entendu


Pour |p|>1 , j'attends un peu !

pour p=1 f'(x)=f(x) ==> f(x)=ae^x
p=-1 ; f(x)=acos(x-pi/4)

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour ; problème intéressant !

Pour |p|=<1 , on peut montrer que toute solution est développable en série entière sur IR puis que toute solution est proportionnelle

à la fonction f : x ---> Sum[n=0..+oo] p^(n(n-1)/2)x^n/n! sauf erreur bien entendu


Pour |p|>1 , j'attends un peu !

oui la fonction f que vous donnez peut etre defini puisque la série est uniformement convergente de rayon infini , et il est clair que ce sont les seuls fonctions analytiques verifiant l'equation.mais comment s'assurer que les solutions sont toutes analytiques pour le cas |p|<1 ??!!
merci ..

memath >> bonne question !

Si |p|<1 une petite récurrence donne que toute solution f est C^oo sur IR et que pour tout x réel et pour tout n£IN* :
f^(n)(x)=p^(n(n-1)/2).f((p^n)x)

et on voit que sur tout intervalle [-A,A] (A>0) de IR les dérivées successives de f sont uniformément bornées sauf erreur bien entendu

Citation :

Bonjour ; problème intéressant !

Pour |p|=<1 , on peut montrer que toute solution est développable en série entière sur IR puis que toute solution est proportionnelle

à la fonction f : x ---> Sum[n=0..+oo] p^(n(n-1)/2)x^n/n! sauf erreur bien entendu


Pour |p|>1 , j'attends un peu !

pour IpI=< 1 , la solution st exactement : f : x ---> f(0)*[ Sum[n=0..+oo] p^(n(n-1)/2)x^n/n! ]

pour IpI>1 , on peux trouver une consition nécessaire et suffisante sur les dérivées de f en 1 et p qui caractérise cette fonction , mais de là àl'expliciter ...

elhor_abdelali a écrit:

memath >> bonne question !

Si |p|<1 une petite récurrence donne que toute solution f est C^oo sur IR et que pour tout x réel et pour tout n£IN* :
f^(n)(x)=p^(n(n-1)/2).f((p^n)x)

et on voit que sur tout intervalle [-A,A] (A>0) de IR les dérivées successives de f sont uniformément bornées sauf erreur bien entendu

Ah trés bien vu , je vous remercie pour votre réponse

De rien memath