Forme linéaire de M_n(K)

Bonsoir, Montrer que toute forme linéaire f sur M_n(K) est définie pour tout M de M_n(K) par : f(M)=Tr (AM) où A dans M_n(K). Tr est l'application trace
AA+

Bonsoir,

indication : considérer une bonne forme bilinéaire symétrique.

lolo

Pour IK = IR.
(M,N) -> Tr(tMN) étant un produit scalaire sur M_n(IR) de dimension finie...
Marche immédiatement pour IK=C.

Pour le cas général :
On pose phi : M_n(IK) -> L(M_n(IK),IK)
A -> (M->Tr(AM)),
phi linéaire.
M_n(IK) et L(M_n(IK), IK) sont des IK-ev de même dimension finie n².
phi injective car : si pour tout M€M_n(IK), Tr(AM) = 0, alors en prenant pour M les E_i,j, il vient :
a_j,i = 0 , sauf EdC
D'où A=0.
Donc phi surjective, CQFD.

Bonjour;
(Eij)ij désignant la base canonique de Mn(IK) , si f est une forme linéaire sur Mn(IK) notons aij=f(Eji)
on peut alors écrire pour tout M=(mij)ij dans Mn(IK) ,
f(M)=Somme(1<=i,j<=n) ajimij
et avec A=(aij)ij on voit que:
f(M)=Somme(1<=j<=n) (AM)jj=Tr(AM)