Ens

Determiner toutes les fonctions continues définies sur [0,1] telles que pour:
f(0)=f(1)=0.
Pour tout x dans [0,1] 2f(x)+f(y)=3f((2x+y)/3).

Salam voila ce que je propose :
Pour x=0 on obtient f(y)=3f(y/3)
Parb recurrence on peut montrer facilment que :
f(y)=3 ^n f(y/(3^n)) pour tout n£N
on donne à y=1 on trouve : f(y/(3^n))=0 pour tout n
donc f est la fonction nulle sur [0,1]
Reciproquement on verifie immédiatement que la foncttion nulle est bien une solution.

lorsqu'on donne à y=1 on trouve f(1/(3^n))=0 (ligne 5)

Je suis tout à fait d'accord avec toi, sauf en f(1/3^n)=0
le passage à la ligne 6 a été abordé comment?

je pense que c'est une consequence immediate de l'enchainement
car : on a pour tout n£N ; (1/3^n) est compris entre 0 et 1 donc pour tout n f s'annulle revient à dire que pour toutes les valeurs de l'intervalle [0,1] f est identiquement nulle !!

Lahcen BOUNADER a écrit:

je pense que c'est une consequence immediate de l'enchainement
car : on a pour tout n£N ; (1/3^n) est compris entre 0 et 1 donc pour tout n f s'annulle revient à dire que pour toutes les valeurs de l'intervalle [0,1] f est identiquement nulle !!

On peut monter que A={(1/3^n) ; n£IN } est dense dans [0,1]
c'est suffisant pour conclure !
sauf erreur !!

@+

Le problème c'est qu'on pourrait construire une fonction continue telle qu'elle s'annule en les 1/3^n et dans l'intervalle [1/3,1] la fonction ne s'annule pas
Prenons par exemple,
f(x)=0 si 0=<x<=1/3 et x=1
f(x)= x²-4/3x+1/3 si 1>x>1/3.

E={1/3^n,n appartenant à N} n'est pas dense dans [0,1]
Supposons le contraire,dans l'intervalle [2/3,3/4] aucun élément de E est dans cet intervalle contradiction!

beautiful mind a écrit:

E={1/3^n,n appartenant à N} n'est pas dense dans [0,1]
Supposons le contraire,dans l'intervalle [2/3,3/4] aucun élément de E est dans cet intervalle contradiction!

Donc on peut pas conclure directement !!

Sauf erreur

Par contre l'ensemble { k/3^n , n£IN , k£{0,...,3^n} } lui est dense dans [0,1] sauf erreur bien entendu

Exactement.

elhor_abdelali a écrit:

Par contre l'ensemble { k/3^n , n£IN , k£{0,...,3^n} } lui est dense dans [0,1] sauf erreur bien entendu

oui; c'est ce que je pensais faire ; chercher une partie dense dans [0,1] pour couvrir l'intervalle tout entier !!! mais comme mes yeux étaient a moitié ouvert .......