A^5 = A + I

Salam

Soit A une matrice reelle. telle que A^5 = A + I ; Montrer que
det(A) > 0.

Generaliser

A+

le polynôme p(x)=x^5-x-1 est annulateur de A,et on remarque bien que p admet un racine positif R,en effet par TVI on p(0)=-1 et p(2010)>0,et admet de même deux racines conjugués C1 et C2,et vue que A étant une matrice réelle,alors la multiplicité des deux racines complexes est la même,qu'on note b,et celle de R :a,du coup:

det(A)=R^(a)*(C1*C2)^(b)>0.

on peut généraliser ce résultat pour tout entier impaire p vérifiant A^p=A+1.

p(2010)>0

codex00 a écrit:

p(2010)>0

c'est l'actualité mathématique

radouane_BNE a écrit:

le polynôme p(x)=x^5-x-1 est annulateur de A,et on remarque bien que p admet un racine positif R,en effet par TVI on p(0)=-1 et p(2010)>0,et admet de même deux racines conjugués C1 et C2,et vue que A étant une matrice réelle,alors la multiplicité des deux racines complexes est la même,qu'on note b,et celle de R :a,du coup:

det(A)=R^(a)*(C1*C2)^(b)>0.

on peut généraliser ce résultat pour tout entier impaire p vérifiant A^p=A+1.

On pose p=2q+1 (q>0)

A^p=A+I <==> A(A^(2q)-I)=I
det(A^(2q)-I)>0 <==> det(A)>0