Aide!Inégalité...

svp ,est que qqn peut me mettre sur la piste

A , B et C sont non nuls car ABC = 1.
De plus, un au moins de ces réels
est < 1 et un au moins de ces réels est > 1 car sinon
on ne peut avoir ABC=1.
On peut donc supposer que A < C <
B avec A < 1 et B > 1.
Remarquons aussi que :
=
donc

Or

donc




De même , on a :

et







D'où , en effectuant les produits:

=
1

Si
,

et

sont > 0
, on a alors la conclusion en passant aux racines carrées.

Si un des
,

ou

est < 0 , alors c'est forcément que l'on a:
<
0 et alors >
0 et >
0 .
Dans ce cas , le produit le produit ()()()
est < 0 et donc < 1.

Dans tous les cas , on a bien : ()()()
< 1 si ABC = 1 avec A , B et C > 0.
C'est tiré de math express ...
C'est un exo de l IMO 2000

En utilisant L'inigalités nommé " Ravi Substitution " on facilite les choses.

* abc=1
* Posons a=x/y ; b=y/z ; x=z/x de tout x,y,z>0
* Notre inigalités demeure : (x/y -1 +z/y)(y/z -1 +x/z)(z/x -1 +y/x)=<1 <=> xyz >= (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)
D'ou le résultat

M.Marjani a écrit:

En utilisant L'inigalités nommé " Ravi Substitution " on facilite les choses.

* abc=1
* Posons a=x/y ; b=y/z ; x=z/x de tout x,y,z>0
* Notre inigalités demeure : (x/y -1 +z/y)(y/z -1 +x/z)(z/x -1 +y/x)=<1 <=> xyz >= (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)
D'ou le résultat

Pourquoi xyz >= (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z) est juste?
Peux-tu m'expliquer cela.

MohE a écrit:

Elle est equivalente a l'inégalité de Schur, et aussi tu peux le prouver en considerant deux cas,
cas 1. x,y,z ne sont pas les longeures des côtés d'un triangle, ce cas étant trivial (car L.H.S>=0>=R.H.S) il te suffira de voire le deuxième cas ou x,y,z sont les longueures des côtés d'un triangle, Là, tu utilise la transformation de ravi, le reste, tu es bien capable de le faire!

Que veut-on dire par ce qui est en rouge.
Peux-tu m'éclairer tant?
J'ai démontré l'inégalité au cas ou x, y, et z sont des côtés d'un triangles.
Je vais la poster plus tard.

Voici la réponse:
On a (b-c)^2>=0.
Donc 0>=-(b-c)^2.
Donc a^2>=a^2-(b-c)^2.
Donc a^2>=(a-b+c)(a+b-c).==>(1)
Même methode pour trouver que b^2>=(b-a+c)(b+a-c).==>(2)
Et que c^2>=(c-a+b)(c+a-b).==>(3)
En multipliant 1, 2 et 3, on trouve a^2 *b^2 *c^2>=(a-b+c)(a+b-c)(b-a+c)(b+a-c)(c-a+b)(c+a-b).
Donc (abc)^2>=[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]^2.
Puisque a, b et c sont les coté d'n triangle, il vient que a>0 et b>0 et c>0.
Donc abc>0.
Et en appliquant l'inégalité triangulaire, il vient que b+c>a et a+c>b et a+b>c.
Donc -a+b+c>0 et a-b+c>0 et a+b-c>0.
Donc (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)>0.
Ainsi, on déduit l'inégalité désiré: abc>=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c).
P.S: Je n'arrive pas à démontrer l'autre cas MohE.
A toi de m'aider.

nmo a écrit:

Voici la réponse:
On a (b-c)^2>=0.
Donc 0>=-(b-c)^2.
Donc a^2>=a^2-(b-c)^2.
Donc a^2>=(a-b+c)(a+b-c).==>(1)
Même methode pour trouver que b^2>=(b-a+c)(b+a-c).==>(2)
Et que c^2>=(c-a+b)(c+a-b).==>(3)
En multipliant 1, 2 et 3, on trouve a^2 *b^2 *c^2>=(a-b+c)(a+b-c)(b-a+c)(b+a-c)(c-a+b)(c+a-b).
Donc (abc)^2>=[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]^2.
Puisque a, b et c sont les coté d'n triangle, il vient que a>0 et b>0 et c>0.
Donc abc>0.
Et en appliquant l'inégalité triangulaire, il vient que b+c>a et a+c>b et a+b>c.
Donc -a+b+c>0 et a-b+c>0 et a+b-c>0.
Donc (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)>0.
Ainsi, on déduit l'inégalité désiré: abc>=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c).
P.S: Je n'arrive pas à démontrer l'autre cas MohE.
A toi de m'aider.

Il ya un seul cas comme l'a dit MoH " il te suffira de voir le deuxiéme cas ou x,y,z sont les longueurs d'un triangle", je pense que c'est résolu!
Ta soluc est considiré comme une démonstration du "Ravi", bien joué.

Bonne chance.